Έστω συνεχής και . Αποδείξτε ή απορρίψτε τους παρακάτω ισχυρισμούς:
- κλειστό κλειστό
- κλειστό κλειστό
- φραγμένο φραγμένο
- φραγμένο φραγμένο
Έχω κάνει τα εξής:
Έχουμε ότι το είναι κλειστό για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του ισχύει ότι .
Έχουμε επίσης ότι είναι φραγμένο είναι φραγμένο. Αυτό είναι ισοδύναμο με .
- Τι μπορούμε να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση;
- Έστω μια συγκίνουσα ακολουθία του . Θέλουμε να δείξουμε ότι .
Αφού η είναι συνεχής, έχουμε ότι .
Εφόσον και η είναι συνεχής έχουμε ότι . Είναι σωστό αυτό;
Αφού το είναι κλειστό έχουμε ότι .
Επομένως, έχουμε ότι . Οπότε έπεται ότι . Αυτό σημαίνει ότι το είναι κλειστό.
Είναι σωστό αυτό; - Αφού το είναι φραγμένο , έχουμε ότι είναι άνω και κάτω φραγμένο. Άρα, υπάρχουν τέτοια ώστε . Αφού η είναι συνεχής έχουμε ότι .
Αυτό σημαίνει ότι στο η συνάρτηση είναι φραγμένη.
Οπότε, το είναι φραγμένο.
Είναι σωστό αυτό; - Τι μπορούμε να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση;