Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων
σταθερού ευθύγραμμου τμήματος . Αν , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων
Μπορούμε να δείξουμε ότιgeorge visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι , με τέμνονται στα σημεία και εφάπτονται στα άκρα
σταθερού ευθύγραμμου τμήματος . Αν , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
Ο ζητούμενος τόπος είναι τμήμα κύκλου του Απολλωνίου που για κάθε του σημείο
ισχύει .
Πράγματι
Οι από τα κάθετες στις χορδές τις τέμνουν στα ,
τέμνονται δε μεταξύ τους στο .Επειδή οι είναι μεσοκάθετες στις
το είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Τώρα θα είναι : ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης) και
( Η εγγεγραμμένη το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Άρα οπότε τα
ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, συνεπώς :
. Με όμοιο τρόπο
Αφού όμως αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις θα έχουμε:
.
Δηλαδή τα ανήκουν σε τμήμα του Απολλώνιου
κύκλου για τα σημεία του οποίου στο χρόνο τον οποίο οι κύκλοι
έχουν τουλάχιστο ένα κοινό σημείο .
Απέφυγα το νόμο ημίτονων στο τρίγωνο ή στο τρίγωνο για να έχω μια "καθαρά" γεωμετρική λύση.
Φιλικά, Νίκος
Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων
Ας δούμε άλλη μια γεωμετρική λύση διαφορετική από αυτή που έδωσε ο συνονόματος παραπάνω.george visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι , με τέμνονται στα σημεία και εφάπτονται στα άκρα
σταθερού ευθύγραμμου τμήματος . Αν , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
Θεωρώ μονάδα μήκους το για διευκόλυνση των πράξεων και ονομάζω το σημείο τομής των ευθειών .
Από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει δηλαδή σταθερό.
Ακόμη και .
Από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο έχουμε
άρα .
Ομοίως από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο προκύπτει
που λόγω της γίνεται:
Η τελευταία λόγω της γίνεται: σταθερό.
Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των κοινών σημείων είναι ο κύκλος κέντρο και ακτίνα εκτός των σημείων που αυτός τέμνει την ευθεία .
Καλή πρωτοχρονιά .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες