Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

#1

: Locus.1.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

Δύο μεταβλητοί κύκλοι (O,r), (K, R)

, με

τέμνονται στα σημεία M, N

και εφάπτονται στα άκρα

σταθερού ευθύγραμμου τμήματος AB=a

. Αν $\displaystyle{\frac{R} {r}=k}$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M, N.

#2

george visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι , με τέμνονται στα σημεία και εφάπτονται στα άκρα

σταθερού ευθύγραμμου τμήματος . Αν $\displaystyle{\frac{R} {r}=k}$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

Μπορούμε να δείξουμε ότι $\dfrac{{N{B^2}}}{{N{A^2}}} = \dfrac{R}{r} = k \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \sqrt k }$

Ο ζητούμενος τόπος είναι τμήμα κύκλου του Απολλωνίου που για κάθε του σημείο

ισχύει $\boxed{\dfrac{{SB}}{{SA}} = \sqrt k }$ .

Πράγματι

Οι από τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ κάθετες στις χορδές $NA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NB$ τις τέμνουν στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ ,

τέμνονται δε μεταξύ τους στο

.Επειδή οι TE,TZ

είναι μεσοκάθετες στις NA,NB

το

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\vartriangle NAB$ .

Τώρα θα είναι : $\widehat \theta = {\widehat \theta _1}\,\,$ ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης) και $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$

( Η εγγεγραμμένη το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Άρα $\widehat \theta = \widehat {{\theta _2}}$ οπότε τα

ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle ZTB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EOA$ είναι όμοια, συνεπώς :

$\dfrac{{ZB}}{{AE}} = \dfrac{{TB}}{{OA}} \Leftrightarrow \dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{TB}}{{OA}} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{TB}}{r}}\,\,\,\,(1)$ . Με όμοιο τρόπο $\boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{R}{{TA}}}\,\,(2)$

: gt Bisnikis_29_12_2016.png (43.28 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Αφού όμως

αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ θα έχουμε:

$\dfrac{{N{B^2}}}{{N{A^2}}} = \dfrac{R}{r} = k \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NB}}{{NA}} = \sqrt k }$ .

Δηλαδή τα M,N

ανήκουν σε τμήμα του Απολλώνιου

κύκλου για τα σημεία

του οποίου $\boxed{\dfrac{{SB}}{{SA}} = \sqrt k }$ στο χρόνο τον οποίο οι κύκλοι

$(O)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(K)$ έχουν τουλάχιστο ένα κοινό σημείο .

Απέφυγα το νόμο ημίτονων στο τρίγωνο NAB

ή στο τρίγωνο MAB

για να έχω μια "καθαρά" γεωμετρική λύση.

Φιλικά, Νίκος

nikkru · #3

george visvikis έγραψε:Locus.1.png
Δύο μεταβλητοί κύκλοι , με τέμνονται στα σημεία και εφάπτονται στα άκρα
σταθερού ευθύγραμμου τμήματος . Αν $\displaystyle{\frac{R} {r}=k}$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

: Γεωμετρικός Τόπος Κοινών Σημείων.png (45.56 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Ας δούμε άλλη μια γεωμετρική λύση διαφορετική από αυτή που έδωσε ο συνονόματος παραπάνω.

Θεωρώ μονάδα μήκους το

για διευκόλυνση των πράξεων και ονομάζω

το σημείο τομής των ευθειών AB, OK

.

Από τα όμοια τρίγωνα TAO,TBK

προκύπτει $\frac{TB}{TA}=\frac{BK}{OA}=\frac{R}{\rho}=k$ δηλαδή $TA=\frac{1}{k-1}$ σταθερό.

Ακόμη $OK=\sqrt{(R-\rho)^2+AB^2}=\sqrt{\rho^2(k-1)^2+1}$ και $\frac{OT}{OK}=\frac{AT}{AB}=\frac{1}{k-1}$ (1)

.

Από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο OKM

έχουμε $MK^2=OM^2+OK^2+2OK\cdot OE$

άρα $\displaystyle{2OE=\frac{MK^2-OM^2-OK^2}{OK}=\frac{R^2-\rho^2-\rho^2(k-1)^2-1}{OK}=\frac{k^2\rho^2-\rho^2-k^2\rho^2+2k\rho^2-\rho^2-1}{OK}=\frac{1-2k\rho^2}{OK}}$

.

Ομοίως από Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο OMT

προκύπτει $MT^2=MO^2+OT^2-2OT \cdot OE$
που λόγω της (2)

γίνεται: $\displaystyle{MT^2=\rho^2+\frac{1}{(k-1)^2}-OT\frac{1-2k\rho^2}{OK}}$

Η τελευταία λόγω της (1)

γίνεται: $\displaystyle{MT^2=\rho^2+\frac{1}{(k-1)^2}-\frac{1}{k-1}(1-2k\rho^2)=\frac{k}{(k-1)^2}}$ σταθερό.

Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των κοινών σημείων είναι ο κύκλος κέντρο

και ακτίνα $\displaystyle{r=\frac{\sqrt{k}}{k-1}}$ εκτός των σημείων που αυτός τέμνει την ευθεία

.

Καλή πρωτοχρονιά .

Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Re: Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Μέλη σε σύνδεση