Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Δεκ 20, 2016 2:46 pm

Μία κατασκευή.
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)-1}{x}=2}.

(α΄) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο A\left ( 1,f(1) \right ).

(β΄) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+f(x)-2}{\sin(x-1)}}.

(γ΄) Αν, επιπλέον, δίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι υπάρχουν \xi ,\xi _{1},\xi _{2}\in (0,1) τέτοια ώστε:
\displaystyle{f'\left( \xi _{1} \right) \cdot f'\left( \xi _{2} \right) = \frac{{\left( {2{\xi ^2} - \xi } \right) \cdot \left( {f(0) + 1} \right) - 2\xi  + 1}}{{{\xi ^4} - {\xi ^3}}}} Σημειώσεις:
(1) Με \sin συμβολίζουμε το ημίτονο.
(2) Το τελευταίο ερώτημα ίσως θέλει κάποια υπόδειξη. Αν προβληματίζει αρκετούς θα δώσω μία.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4517
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 20, 2016 4:25 pm

M.S.Vovos έγραψε: Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)-1}{x}=2}.

(α΄) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο A\left ( 1,f(1) \right ).

(β΄) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+f(x)-2}{\sin(x-1)}}.

(γ΄) Αν, επιπλέον, δίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι υπάρχουν \xi ,\xi _{1},\xi _{2}\in (0,1) τέτοια ώστε:
\displaystyle{f'\left( \xi _{1} \right) \cdot f'\left( \xi _{2} \right) = \frac{{\left( {2{\xi ^2} - \xi } \right) \cdot \left( {f(0) + 1} \right) - 2\xi  + 1}}{{{\xi ^4} - {\xi ^3}}}}

(α) Θέτουμε y=x+1 οπότε το δοσμένο όριο γίνεται \displaystyle{\lim_{y\rightarrow 1} \frac{f(y) - 1}{y-1}=2}. Κοντά στο 1 θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g\left ( y \right ) = \frac{f(y)-1}{y-1}} οπότε:
\displaystyle{g\left ( y \right )\left ( y-1 \right ) = f(y) - 1 \Rightarrow \lim_{y\rightarrow 1} \left [ g(y) \left ( y-1 \right ) \right ] =\lim_{y \rightarrow 1} \left ( f(y)  -1 \right ) \Rightarrow \lim_{y \rightarrow 1} f(y)=1} και επειδή η f είναι συνεχής στο \mathbb{R} θα είναι εν τέλει f(1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) =1. Επίσης από το αρχικό όριο παίρνουμε ότι:
\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = f'(1)=2} Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο {\rm A}(1, f(1)) είναι η \left ( \varepsilon \right ): y =2x-1.

(β) Έχουμε διαδοχικά:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow 1}  \frac{x + f(x)-2}{\sin (x-1)}\\  
 &=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x-1  + f(x)-1}{\sin (x-1)} \\  
 &= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\frac{x-1}{x-1} + \frac{f(x)-1}{x-1}}{\frac{\sin (x-1)}{x-1}}\\  
 &= \frac{1 + 2}{1}\\  
 &= 3  
\end{aligned}} όπου χρησιμοποιήσαμε το αρχικό όριο καθώς και το τετριμμένο γενονός \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin (x-1)}{x-1} \overset{y=x-1}{=\! =\! =\! =\!} \lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin y}{y} =1}.

(γ) Πρώτα θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (0, 1) τέτοιο ώστε f(\xi)=\frac{1}{\xi}-1. Είναι άμεση εφαρμογή του Bolzano στη συνεχή συνάρτηση h(x)=x f(x) + x -1. Τώρα, εφόσον η f δίδεται ως παραγωγίσιμη τότε ικανοποιούνται οι προΰποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα [0, \xi] και [\xi, 1]. Από εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα [0, \xi] υπάρχει ένα \xi_1 \in (0, \xi) τέτοιο ώστε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
f'\left ( \xi_1 \right ) &= \frac{f\left ( \xi \right ) - f(0)}{\xi}  \\  
 &= \frac{\frac{1}{\xi} -1 -f(0)}{\xi}\\  
 &= \frac{1-\xi - \xi f(0)}{\xi^2} 
\end{aligned}} Όμοια υπάρχει ένα \xi_2 \in (\xi, 1) τέτοιο ώστε
\displaystyle{\begin{aligned} 
f' \left ( \xi_2 \right ) &= \frac{f(1)-f\left ( \xi \right )}{1-\xi} \\  
 &= \frac{2 - \frac{1}{\xi}}{1- \xi}\\  
 &=\frac{2\xi - 1}{\xi -\xi^2} 
\end{aligned}} Πολλασιάζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.

Δεν είμαι μάντης για το τελευταίο ερώτημα , απλά έκλεψα από εδώ .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης