Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)-1}{x}=2}$ .

(α΄) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

στο σημείο $A\left ( 1,f(1) \right )$ .

(β΄) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+f(x)-2}{\sin(x-1)}}$ .

(γ΄) Αν, επιπλέον, δίνεται ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi ,\xi _{1},\xi _{2}\in (0,1)$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{f'\left( \xi _{1} \right) \cdot f'\left( \xi _{2} \right) = \frac{{\left( {2{\xi ^2} - \xi } \right) \cdot \left( {f(0) + 1} \right) - 2\xi + 1}}{{{\xi ^4} - {\xi ^3}}}}$ Σημειώσεις:
(1) Με $\sin$ συμβολίζουμε το ημίτονο.
(2) Το τελευταίο ερώτημα ίσως θέλει κάποια υπόδειξη. Αν προβληματίζει αρκετούς θα δώσω μία.

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)-1}{x}=2}$ .

(α΄) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο $A\left ( 1,f(1) \right )$ .

(β΄) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+f(x)-2}{\sin(x-1)}}$ .

(γ΄) Αν, επιπλέον, δίνεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi ,\xi _{1},\xi _{2}\in (0,1)$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{f'\left( \xi _{1} \right) \cdot f'\left( \xi _{2} \right) = \frac{{\left( {2{\xi ^2} - \xi } \right) \cdot \left( {f(0) + 1} \right) - 2\xi + 1}}{{{\xi ^4} - {\xi ^3}}}}$

(α) Θέτουμε y=x+1

οπότε το δοσμένο όριο γίνεται $\displaystyle{\lim_{y\rightarrow 1} \frac{f(y) - 1}{y-1}=2}$ . Κοντά στο

θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left ( y \right ) = \frac{f(y)-1}{y-1}}$ οπότε:
$\displaystyle{g\left ( y \right )\left ( y-1 \right ) = f(y) - 1 \Rightarrow \lim_{y\rightarrow 1} \left [ g(y) \left ( y-1 \right ) \right ] =\lim_{y \rightarrow 1} \left ( f(y) -1 \right ) \Rightarrow \lim_{y \rightarrow 1} f(y)=1}$ και επειδή η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ θα είναι εν τέλει $f(1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) =1$ . Επίσης από το αρχικό όριο παίρνουμε ότι:
$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = f'(1)=2}$ Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ${\rm A}(1, f(1))$ είναι η $\left ( \varepsilon \right ): y =2x-1$ .

(β) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x + f(x)-2}{\sin (x-1)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x-1 + f(x)-1}{\sin (x-1)} \\ &= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\frac{x-1}{x-1} + \frac{f(x)-1}{x-1}}{\frac{\sin (x-1)}{x-1}}\\ &= \frac{1 + 2}{1}\\ &= 3 \end{aligned}}$ όπου χρησιμοποιήσαμε το αρχικό όριο καθώς και το τετριμμένο γενονός $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin (x-1)}{x-1} \overset{y=x-1}{=\! =\! =\! =\!} \lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin y}{y} =1}$ .

(γ) Πρώτα θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=\frac{1}{\xi}-1$ . Είναι άμεση εφαρμογή του Bolzano στη συνεχή συνάρτηση h(x)=x f(x) + x -1

. Τώρα, εφόσον η

δίδεται ως παραγωγίσιμη τότε ικανοποιούνται οι προΰποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα $[0, \xi]$ και $[\xi, 1]$ . Από εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα $[0, \xi]$ υπάρχει ένα $\xi_1 \in (0, \xi)$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{\begin{aligned} f'\left ( \xi_1 \right ) &= \frac{f\left ( \xi \right ) - f(0)}{\xi} \\ &= \frac{\frac{1}{\xi} -1 -f(0)}{\xi}\\ &= \frac{1-\xi - \xi f(0)}{\xi^2} \end{aligned}}$ Όμοια υπάρχει ένα $\xi_2 \in (\xi, 1)$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{\begin{aligned} f' \left ( \xi_2 \right ) &= \frac{f(1)-f\left ( \xi \right )}{1-\xi} \\ &= \frac{2 - \frac{1}{\xi}}{1- \xi}\\ &=\frac{2\xi - 1}{\xi -\xi^2} \end{aligned}}$ Πολλασιάζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.

Δεν είμαι μάντης για το τελευταίο ερώτημα , απλά έκλεψα από εδώ .

Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

Re: Όρια - Εφαπτομένη - Βασικά θεωρήματα

Μέλη σε σύνδεση