Ανισότητα ... με εφαρμογή
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα ... με εφαρμογή
Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο και για , η ανισότητα
[Δεν μοιάζει με τυπικό θέμα Πανελλαδικών. Τοποθετείται εδώ επειδή βγαίνει με Λογισμό, αν και προτιμητέα θα ήταν μια πιο στοιχειώδης απόδειξη. Η προέλευση και η εφαρμογή της ανισότητας θα αποκαλυφθούν αργότερα.]
[Δεν μοιάζει με τυπικό θέμα Πανελλαδικών. Τοποθετείται εδώ επειδή βγαίνει με Λογισμό, αν και προτιμητέα θα ήταν μια πιο στοιχειώδης απόδειξη. Η προέλευση και η εφαρμογή της ανισότητας θα αποκαλυφθούν αργότερα.]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Θέτουμε για ευκολία (αν και δεν είναι απαραίτητο) , οπότε ή αλλιώς . Άραgbaloglou έγραψε:Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο και για , η ανισότητα
Πρώτα για .
Το δεξί μέλος είναι
, όπως θέλαμε.
Τώρα για .
Το δεξί μέλος της είναι
το οποίο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι
Ισοδύναμα θέλουμε
που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο και η τιμή του είναι )
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Μιχάλη σ' ευχαριστώ για την γρήγορη και αποτελεσματική παρέμβαση, που μας επιτρέπει να γιορτάσουμε τα αποψινά όγδοα γενέθλια του με ιδιαίτερο τρόπο ... εδώ
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Εναλλακτική προσέγγιση (χωρίς παραγώγιση), για πάντοτε:Mihalis_Lambrou έγραψε:Ισοδύναμα θέλουμε
που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο και η τιμή του είναι )
[Το παραπάνω άνω φράγμα δεν είναι βέλτιστο, όπως προκύπτει και από την προσέγγιση του Μιχάλη, αλλά επαρκεί για τις ανάγκες του προβλήματος. (Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η μεγιστοποιείται στο για ;)]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Γιώργο, μπορούμε.gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η μεγιστοποιείται στο για ;]
Θέλουμε να δείξουμε στο . Ισοδύναμα , που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Ας το δούμε και με παραγώγιση:
Θέλουμε να αποδείξουμε τις ανισότητες, για άρτιο και για περιττό αντίστοιχα, και , όπου . Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε, με δεδομένο τον μηδενισμό της στα άκρα του , ότι το μέγιστο της, σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μικρότερο του . Αναλόγως στην δεύτερη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε ότι το ελάχιστο της , σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μεγαλύτερο του .
Από την προκύπτει ένα και μοναδικό σημείο μηδενισμού της παραγώγου, για . Παρατηρούμε επίσης ότι τα δύο ζητούμενα της προηγούμενης παραγράφου συμπτύσσονται σε ένα, συγκεκριμένα στην ανισότητα, για ,
Ύστερα από απλοποιήσεις και χρήση της παρατηρούμε ότι αρκεί να ισχύει, για , η ανισότητα
Η ανισότητα αυτή ισχύει για (ισοδύναμη προς την ). Για προκύπτει άμεσα από τις , για , και για .
Θέλουμε να αποδείξουμε τις ανισότητες, για άρτιο και για περιττό αντίστοιχα, και , όπου . Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε, με δεδομένο τον μηδενισμό της στα άκρα του , ότι το μέγιστο της, σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μικρότερο του . Αναλόγως στην δεύτερη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε ότι το ελάχιστο της , σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μεγαλύτερο του .
Από την προκύπτει ένα και μοναδικό σημείο μηδενισμού της παραγώγου, για . Παρατηρούμε επίσης ότι τα δύο ζητούμενα της προηγούμενης παραγράφου συμπτύσσονται σε ένα, συγκεκριμένα στην ανισότητα, για ,
Ύστερα από απλοποιήσεις και χρήση της παρατηρούμε ότι αρκεί να ισχύει, για , η ανισότητα
Η ανισότητα αυτή ισχύει για (ισοδύναμη προς την ). Για προκύπτει άμεσα από τις , για , και για .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η έχει τοπικό μέγιστο στο ... πάλι μπορούμε:Mihalis_Lambrou έγραψε:Γιώργο, μπορούμε.gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η μεγιστοποιείται στο για ;]
Θέλουμε να δείξουμε στο . Ισοδύναμα , που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο .
Αναζητούμε τέτοιο ώστε η να διαιρείται δια του ... διαιρούμε δηλαδή το δια του παίρνοντας πηλίκο και υπόλοιπο ... οπότε ο μηδενισμός του υπολοίπου* δίνει (τοπικό ελάχιστο*) και (τοπικό μέγιστο*).
*Αν για το πολυώνυμο ισχύει η , και ισχύει επίσης η ή η , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο του πολυωνύμου, αντίστοιχα. (Στην περίπτωση μας , , . Η απόδειξη του λήμματος είναι απλή αλλά απαιτεί εξοικείωση με την έννοια της συνέχειας ... που συνήθως διδάσκεται πριν από τα τοπικά ακρότατα, εδώ που τα λέμε )
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή
Και με απλή εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ:gbaloglou έγραψε: Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η έχει τοπικό μέγιστο στο ... πάλι μπορούμε:
με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες