Κύκλος που τέμνει παραβολή

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ο κύκλος C_1:x^2+y^2=r^2

και η παραβολή C_2:y^2=2px

που τέμνονται σε σημεία με τετμημένη

.

Αν ο κύκλος διέρχεται από την εστία της παραβολής, να βρεθούν οι εξισώσεις των C_1,~C_2.

(Β' Κατ. - Μέχρι 4/12/16)

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφέρω για όλους

BAGGP93 · #3

Καλησπέρα.

Το σημείο $\displaystyle{\left(\dfrac{p}{2},0\right)}$ επαληθεύει την εξίσωση του κύκλου, οπότε

$\displaystyle{\dfrac{p^2}{4}=r^2\iff p^2=4\,r^2\iff p=2\,r}$ και τώρα οι εξισώσεις των κωνικών τομών είναι οι

$\displaystyle{C_1: x^2+y^2=r^2\,\,\,C_2: y^2=4\,r\,x}$ .

Επίσης, η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{x^2+4\,r\,x-r^2=0}$ έχει λύση το $\displaystyle{x=1}$ , άρα

$\displaystyle{1+4\,r-r^2=0}$ και $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff 16\,r^2+4\,r^2=20\,r^2\geq 0}$ (η δεύτερη είναι αληθής)

Παίρνουμε λοιπόν, $\displaystyle{r\in\left\{\dfrac{-4+2\,\sqrt{5}}{2}\,,\dfrac{-4-2\,\sqrt{5}}{2}\right\}\stackrel{r>0}{\implies} r=\sqrt{5}-2}$

Συνεπώς, $\displaystyle{C_1: x^2+y^2=(\sqrt{5}-2)^2=9-4\,\sqrt{5}\,\,\,\,\,,C_2: y^2=4\,(\sqrt{5}-2)\,x}$

Γιώργος Απόκης · #4

Ευχαριστώ για τη λύση!

Κύκλος που τέμνει παραβολή

Κύκλος που τέμνει παραβολή

Re: Κύκλος που τέμνει παραβολή

Re: Κύκλος που τέμνει παραβολή

Re: Κύκλος που τέμνει παραβολή

Μέλη σε σύνδεση