Σαν την ακτίνα

#1

: Σαν την ακτίνα.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Έστω

διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (O, R)

με $DB=BC<R\sqrt 3$ και

ένα εσωτερικό σημείο του κύκλου,

ώστε το τρίγωνο ABC

να είναι ισόπλευρο. Αν η

επανατέμνει τον κύκλο στο

, να δείξετε ότι AE=R.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BDEC

προκύπτει ότι οι γωνίες $\widehat{BDE}$ και $\widehat{BCE}$ είναι παραπληρωματικές.

Όμως από το ισοσκελές τρίγωνο BDA

έχουμε ότι $\widehat{BDE}=\widehat{BAD}$ . Επίσης, οι $\widehat{BAD}$ και $\widehat{BAE}$ είναι παραπληρωματικές.

Από τα παραπάνω έχουμε ότι $\widehat{BAE}=\widehat{BCE}$ και λόγω του ισόπλευρου τριγώνου ABC

προκύπτει ότι $\widehat{CAE}=\widehat{ACE}$ . Άρα AE=CE

, το

είναι χαρταετός και $BE \perp AC$ .

Επομένως η εγγεγραμμένη γωνία $\widehat{CBE}=30^o$ και συνεπώς η αντίστοιχη επίκεντρη $\widehat{COE}=60^o$ .

Επειδή OE=OC=R

, το τρίγωνο OCE

είναι ισόπλευρο, άρα θα είναι και CE=R

, επομένως $\boxed{AE=R}$

Σαν την ακτίνα

Σαν την ακτίνα

Re: Σαν την ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση