Συναρτησιακή

simantiris j. · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση
g(f(x+y)=f(x)+(2x+y)g(y)

, $\forall x,y \in \mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

simantiris j. · #2

Επαναφορά!

#3

simantiris j. έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση
$g(f(x+y)=f(x)+(2x+y)g(y)\quad \quad(1)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R}$ .

$y=0\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+2xg(0)\quad (2)$

$y\to y-x\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+(x+y)g(y-x)\stackrel{(2)}\Rightarrow$ $(x+y)g(y-x)=2g(0)x\quad (3)$

$x=1,y=-1\quad \quad (3)\Rightarrow g(0)=0$

άρα $g(x)=0,x\in \mathbb R$ και $f(x)=0,x\in \mathbb R$

simantiris j. · #4

Γεια σας κ.Φωτεινή,υπάρχουν και άλλες λύσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη.Το λάθος νομίζω βρίσκεται στο $y\to y-x\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+(x+y)g(y-x)$ καθώς με την αντικατάσταση που κάνατε είναι g(f(y))=f(x)+(x+y)g(y-x)

,οπότε η (3) είναι λανθασμένη.

#5

Έστω

$\displaystyle{g\left( {f\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( x \right) + \left( {2x + y} \right)g\left( y \right)}$ $\bf\color{red} \left( 1 \right)$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Εναλλάσσοντας τα

και

στη σχέση $\bf\color{red} \left( 1 \right)$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{g\left( {f\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( y \right) + \left( {2y + x} \right)g\left( x \right)}$ $\bf\color{red} \left( 2 \right)$

για κάθε $x, y \in \mathbb{R}.$

Από τις σχέσεις $\bf\color{red} \left( 1 \right)$ και $\bf\color{red} \left( 2 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) + \left( {2x + y} \right)g\left( y \right) = f\left( y \right) + \left( {2y + x} \right)g\left( x \right)}$ $\bf\color{red} \left( 3 \right)$

για κάθε $x, y \in \mathbb{R}.$

Θέτουμε $\displaystyle{a = g\left( 1 \right) - g\left( 0 \right),}$ $\displaystyle{b = g\left( 0 \right)}$ και $\displaystyle{c = f\left( 0 \right).}$

Θέτοντας y=0

στη σχέση $\bf\color{red} \left( 3 \right)$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f\left( x \right) + 2bx = c + xg\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = xg\left( x \right) - 2bx + c}$ $\bf\color{red} \left( 4 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Από τις σχέσεις $\bf\color{red} \left( 1 \right)$ και $\bf\color{red} \left( 4 \right)$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{xg\left( x \right) - 2bx + c + 2xg\left( y \right) + yg\left( y \right) = yg\left( y \right) - 2by + c + 2yg\left( x \right) + xg\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow x\left[ {g\left( y \right) - b} \right] = y\left[ {g\left( x \right) - b} \right],}$

από όπου, για $x,y \neq 0,$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{\frac{{g\left( x \right) - b}}{x} = \frac{{g\left( y \right) - b}}{y}}$

για κάθε $x,y \neq 0.$ Άρα, είναι

$\displaystyle{\frac{{g\left( x \right) - b}}{x} = \frac{{g\left( 1 \right) - b}}{1} = a \Rightarrow g\left( x \right) = ax + b}$

για κάθε $x \neq 0.$ Επειδή, όμως, η σχέση αυτή ισχύει και για x=0,

έχουμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) = ax + b}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Με αντικατάσταση στη σχέση $\bf\color{red} \left( 4 \right)$ βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) = a{x^2} - bx + c}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Αντικαθιστώντας στη σχέση $\bf\color{red} \left( 1 \right)$ , βρίσκουμε ότι πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} = a}\\ { - ab = b}\\ {ac + b = c} \end{array}} \right\},}$

από όπου προκύπτει ότι είτε $\displaystyle{a = b = c = 0,}$ είτε $\displaystyle{a = 1,}$ $\displaystyle{b = 0}$ και $c \in \mathbb{R}.$

Ώστε, έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ $\displaystyle{f\left( x \right) = g\left( x \right) = 0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R},$

$\bullet$ $\displaystyle{f\left( x \right) = {x^2} + c}$ και $\displaystyle{g\left( x \right) = x}$ για κάθε $x \in \mathbb{R},$ όπου $c \in \mathbb{R}$ τυχαίος.

simantiris j. · #6

Σωστά!
Αν και τελικά δεν επηρεάζει την λύση,το g(0)=0

μπορεί να αποδειχθεί πριν την εύρεση της μορφής των συναρτήσεων.
Έχουμε ότι $P(0,0) \Rightarrow g(f(0))=f(0)$
$P(-x,2x) \Rightarrow g(f(x))=f(-x)$
$P(x,0) \Rightarrow g(f(x))=f(x)+2xg(0)$ (1).
Αν $g(0)\neq 0$ τότε από (1) η

είναι 1-1.
Επίσης $P(-f(x),f(x)) \Rightarrow g(f(0))=f(-f(x))-f(x)g(f(x)) \Rightarrow f(-f(x))=f(x)f(-x)+f(0)$
Θέτωντας στην τελευταία όπου

το

έχουμε $f(-f(x))=f(-f(-x))\Rightarrow f(x)=f(-x)\Rightarrow x=0$ λόγω του 1-1,άτοπο,άρα g(0)=0

.Η συνέχεια όπως πάνω.

Η άσκηση αυτή είναι το Α3 της IMO Shortlist 2011.

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση