Δέλτα

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο

με $\displaystyle{f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0} \end{array}} \right}$ .

Δ1. Να αποδειχτεί ότι $\alpha = 2$

Δ2. Αν $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R}$ να αποδειχτεί ότι

i. Η

είναι γνησίως αύξουσα

ii. $\displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)}$

Δ3. Αν $\displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R }$ να αποδειχτεί ότι $\beta > \gamma$

Δ4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx }$ ως προς $f\left( 1 \right)}$

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με $\displaystyle{f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0} \end{array}} \right}$ .

Δ1. Να αποδειχτεί ότι $\alpha = 2$

Δ2. Αν $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R}$ να αποδειχτεί ότι

i. Η είναι γνησίως αύξουσα

ii. $\displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)}$

Δ3. Αν $\displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R }$ να αποδειχτεί ότι $\beta > \gamma$

Δ4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx }$ ως προς $f\left( 1 \right)}$

...Καλησπερίζω την παρέα με τις απαιτήσεις του erxmer

Δ1. Αφού η

παραγωγίσιμη στο

θα είναι

${f}'(0)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1}$

$\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{e}^{x}}-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{e}^{x}}}=2$

και επειδή {f}'(0)=a

θα είναι

Δ2. i)Η $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R}$ είναι παραγωγίσιμη με

${g}'\left( x \right)=x+{f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} & x+\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1},\,\,\,x\ne 0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

και για $x\ne 0$ είναι ${g}'(x)=x(1+\frac{x}{{{e}^{x}}-x-1})=x\left( \frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x-1} \right)$ (1)

Τώρα από την γνωστή ανισότητα $\ln x\le x-1,\,\,\,x>0$ με όπου

το ${{e}^{x}}$ προκύπτει ότι ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,x\in R$

με το ίσο μόνο για x=0

επομένως ${{e}^{x}}>x+1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-x-1>,\,\,x\in {{R}^{*}}$ ακόμη για

$x<0\Rightarrow {{e}^{x}}<1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1<0$ άρα $x({{e}^{x}}-1)>0$ και για

$x>0\Rightarrow {{e}^{x}}>1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1>0$ άρα $x({{e}^{x}}-1)>0$ επομένως από (1) ισχύει ότι για

${g}'(x)>0,\,\,\,x\ne 0$ και επειδή g(0)=2>0

ισχύει ότι ${g}'(x)>0,\,\,\,x\in R$ που σημαίνει ότι

είναι γνήσια αύξουσα στο

ii) Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)}$ ή

$g\left( 0 \right)<\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}<g\left( 1 \right)$ και επειδή

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και στο $[0,\,\,1]$ θα ισχύει για

$0\le x\le \,\,1\Leftrightarrow g(0)\le g(x)\le g(1)\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{g(0)dx}<\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{g(2)dx}$ ή $g(0)<\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}<g(1)$

Δ3. Από $\displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R }$ έχουμε ότι

$\left[ f(x) \right]_{\beta }^{\gamma }<0\Leftrightarrow f(\gamma )-f(\beta )<0\Leftrightarrow f(\gamma )<f(\beta )$ και επειδή η ${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} & \frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1},\,\,x\ne 0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

είναι ${f}'(x)>0,\,\,\,x\in R$ αφού ${{x}^{2}}>0,\,\,\,x\ne 0$ και ${{e}^{x}}-x-1>0,\,\,x\ne 0$ θα ισχύει από $f(\gamma )<f(\beta )$ ότι $\gamma <\beta$

Δ4. (...εντός σχολικής ύλης;;;;) Είναι για $\alpha >0$

$I(a)=\int\limits_{\alpha }^{1}{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}f\left( x \right)dx=\int\limits_{\alpha }^{1}{{{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{\prime }}}f\left( x \right)dx=$

$=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\int\limits_{\alpha }^{1}{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right){f}'(x)dx}=$

$=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\int\limits_{\alpha }^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{\alpha }^{1}$

δηλαδή $\displaystyle{I(\alpha )=\left( {{e}^{1}}-2 \right)f(1)-\left( {{e}^{\alpha }}-a-1 \right)f(\alpha )-\frac{1}{3}{{(1-\alpha )}^{3}}}$ και

$\displaystyle{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,I(\alpha )=\left( e-2 \right)f(1)-\frac{1}{3}}$ επομένως

$\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}f\left( x \right)dx=\left( e-2 \right)f(1)-\frac{1}{3}}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ratio · #3

Για τη μονοτονία της g(x)

μια προσέγγιση μέσω πεδίου τιμών

$\lim_{x\to -\infty} g'(x)=\lim_{x\to -\infty} (x+f'(x))=\lim_{x\to -\infty} \left ( x+\frac{x^2}{e^x-x-1}\right )=\\ \lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{xe^x-x^2-x+x^2}{e^x-x-1} \right )=\lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{xe^x-x}{e^x-x-1} \right )=\\ \lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{e^x-1}{\frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x}} \right )=1$

και $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{e^x-x-1}=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{e^x-x-1} \right )=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{x\left ( \frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x} \right )} \right )=\\ \lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x}{\frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x}} \right )=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{e^x} \right )=\left (\frac{+\infty}{+\infty} \right )_{DLH}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x}{e^x}=\left ( \frac{+\infty}{+\infty} \right )_{DLH}=\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{e^x}=0$

οπότε $\lim_{x\to +\infty} g'(x) =+\infty$

οπότε το πεδίο τιμών της g'(x)

είναι το $(1,+\infty) \Rightarrow g'(x)>0 \Rightarrow g(x) \uparrow$

Δέλτα

Δέλτα

Re: Δέλτα

Re: Δέλτα

Μέλη σε σύνδεση