Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 10, 2016 6:19 pm

αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.png
αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.png (91.1 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές
Με αφορμή τα αντιρρόπως ίσα τρίγωνα
Έστω τα αντιρρόπως όμοια τρίγωνα (*)\vartriangle ABC,\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} με ομόλογες κορυφές τα ζεύγη A-{{A}_{1}},B-{{B}_{1}},C-{{C}_{1}} και λόγο ομοιότητας \lambda >0 του \vartriangle ABC προς το \vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}. Να δειχθεί M,N,P είναι συνευθειακά, όπου M,N,P σημεία των ευθειών A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} για τα οποία ισχύει: \dfrac{MA}{M{{A}_{1}}}=\dfrac{NB}{N{{B}_{1}}}=\dfrac{PC}{P{{C}_{1}}}=\lambda
(*)
Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα ορίζουμε δύο τρίγωνα αν το ένα προκύπτει από την περιστροφή του άλλου ως προς κέντρο, τη συμμετρία του περιστρεφόμενου ως προς άξονα, την ομοιοθεσία του συμμετρικού ως προς κέντρο με λόγο το λόγο ομοιότητας των αρχικών τριγώνων, και τη μετατόπιση του ομοιόθετου.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Νοέμ 13, 2016 2:49 pm

Επαναφορά


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 13, 2016 9:13 pm

Γεια σου Στάθη.
Θα δώσω μια ερασιτεχνική λύση.
Είναι τέτοια γιατί βασίζεται στο σχήμα που έχεις παραπάνω.
Συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσω ότι στα τετράπλευρα A_{1}C_{1}CA,A_{1}B_{1}BA οι πλευρές τους δεν τέμνονται και
είναι κυρτά.
Χρειάζομαι τις εξης δύο ασκήσεις (προτάσεις)
1)Εστω ABCD κυρτό τετράπλευρο και σημεία L,K των AD,BC αντίστοιχα
Αν ισχύει \frac{AB}{DC}=\frac{AL}{LD}=\frac{BK}{KC}=\lambda
τότε η LK είναι παράλληλη με την διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι προεκτάσεις των AB,CD

2))Εστω ABCD κυρτό τετράπλευρο ώστε \angle B=\angle D.
Οι διχοτόμοι των γωνιών \angle A,\angle C είναι παράλληλες.

Εστω T=A_{1}C_{1}\cap AC και R=A_{1}B_{1}\cap AB

Στο τετράπλευρο TA_{1}RA έχουμε \angle A_{1}=\angle A.

Εφαρμόζοντας το 2 παίρνουμε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών \angle T,\angle R
είναι παράλληλες.

Εφαρμόζοντας το 1 στο A_{1}C_{1}CA παίρνουμε ότι MP είναι παράλληλη στην διχοτόμο της \angle T

Εφαρμόζοντας το 1 στο A_{1}B_{1}BA παίρνουμε ότι η MN είναι παράλληλη στην διχοτόμο της \angle R.

Αφού οι διχοτόμοι των γωνιών \angle T,\angle R είναι παράλληλες τα M,N,P είναι σε ευθεία.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Νοέμ 14, 2016 12:28 pm

Αλλάζω λίγο τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.

Έτσι, \vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C' , είναι τα δοσμένα αντιρρόπως όμοια τρίγωνα, με λόγο ομοιότητας \displaystyle u = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} και K,\ L,\ M , είναι τα σημεία επί των BB',\ AA',\ CC' αντιστοίχως, ώστε να ισχύει \displaystyle \frac{BK}{KB'} = \frac{AL}{LA'} = \frac{CM}{MC'} = u .
f=22_t=56368.PNG
Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.
f=22_t=56368.PNG (23.35 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
\bullet Έστω D,\ D' , τα σημεία ώστε τα τετράπλευρα KBCD,\ KB'C'D' να είναι παραλληλόγραμμα.

Από CD\parallel BB'\parallel C'D' και \displaystyle \frac{CD}{C'D'} = \frac{BK}{KB'} = u και \displaystyle \frac{CM}{MC'} = u , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή , προκύπτει ότι τα σημεία D,\ M,\ D' είναι συνευθειακά και ισχύει \displaystyle \frac{DM}{MD'} = u\ \ \ ,(1)

Από (1) και \displaystyle \frac{KD}{KD'} = \frac{BC}{B'C'} = u , προκύπτει ότι στο τρίγωνο \vartriangle KDD' , η ευθεία KM ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας \angle DKD' .

\bullet Έστω E,\ E' , τα σημεία ώστε τα τετράπλευρα KBAE,\ KB'A'E' να είναι παραλληλόγραμμα.

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα σημεία E,\ L,\ E' είναι συνευθειακά και ότι στο τρίγωνο \vartriangle KEE' , η ευθεία KL ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας \angle EKE' .

Οι ευθείες KL,\ KM τώρα, ταυτίζονται λόγω \angle EKD = \angle B = \angle B' = \angle E'KD' και το ζητούμενο έχει αποδεχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 15, 2016 7:28 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.pngΜε αφορμή τα αντιρρόπως ίσα τρίγωνα
Έστω τα αντιρρόπως όμοια τρίγωνα (*)\vartriangle ABC,\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} με ομόλογες κορυφές τα ζεύγη A-{{A}_{1}},B-{{B}_{1}},C-{{C}_{1}} και λόγο ομοιότητας \lambda >0 του \vartriangle ABC προς το \vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}. Να δειχθεί M,N,P είναι συνευθειακά, όπου M,N,P σημεία των ευθειών A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} για τα οποία ισχύει: \dfrac{MA}{M{{A}_{1}}}=\dfrac{NB}{N{{B}_{1}}}=\dfrac{PC}{P{{C}_{1}}}=\lambda
(*)
Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα ορίζουμε δύο τρίγωνα αν το ένα προκύπτει από την περιστροφή του άλλου ως προς κέντρο, τη συμμετρία του περιστρεφόμενου ως προς άξονα, την ομοιοθεσία του συμμετρικού ως προς κέντρο με λόγο το λόγο ομοιότητας των αρχικών τριγώνων, και τη μετατόπιση του ομοιόθετου.


Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση. Έστω D,Eοι τομές των {{C}_{1}}M,{{C}_{1}}N με τις εκ των A,B παράλληλες προς τις {{A}_{1}}{{C}_{1}},{{B}_{1}}{{C}_{1}} αντίστοιχα. Τότε είναι

\dfrac{AD}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{AM}{M{{A}_{1}}}=\dfrac{MD}{M{{C}_{1}}}=\dfrac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\Rightarrow MP\parallel DC\,\,:\left( 1 \right)\And \,\,AD=AC:\left( 2 \right) και με ομοίως προκύπτει NP\parallel DE\,:\left( 3 \right)\And \,\,BC=BE:\left( 4 \right).
[attachment=0]Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.png[/attachment]
Επειδή προφανώς \angle DTE\overset{T\equiv DA\cap EB,\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}{{B}_{1}}=\angle ACB από \left( 2 \right),\left( 3 \right) σύμφωνα με την

απλή συνευθειακότητα προκύπτει ότι D,C,E συνευθειακά άρα από \left( 1 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow M,N,P συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης
.

Υ.Σ.
Όπως θα καταλάβατε είμαι αρκετά "μακρυά" από τα "εργαλεία" μου και γι' αυτό είμαι "τεχνικά" χάλια. Είμαι όμως πολύ κοντά στους δικούς μου ανθρώπους (που τους μετράω και τους ξαναμετράω και τους βγάζω έναν περισσότερο :) ) και αυτό δεν ισοφαρίζεται με τίποτα :D
Συνημμένα
Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.png
Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα.png (44.57 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες