Ύπαρξη ξ

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση με f(0)=0

και τέτοια ώστε
$\displaystyle{\int_0^1 x f(x) \, {\rm d}x = \int_0^1 f(x) \, {\rm d}x} \quad \quad (1)$ Αποδείξατε ότι υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \, {\rm d}x = \frac{\xi}{2} \int_0^\xi f(x) \, {\rm d}x}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw [very thick](-5, 0) -- (15, 0); \end{tikzpicture}$

Παλιότερο σχετικό θέμα εδώ.

dement · #2

Έστω $\displaystyle I(x) \equiv \int_0^x f(t) \mathrm{d}t$ και $\displaystyle G(x) \equiv \int_0^x I(t) \mathrm{d}t$ . Τότε, με ολοκλήρωση κατά μέρη, το δεδομένο μάς λέει ότι $\displaystyle \int_0^1 (t-1) f(t) \mathrm{d}t = 0 \implies \int_0^1 I(t) \mathrm{d}t = 0 \implies G(1) = 0$ .

Εξετάζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle K(x) \equiv \frac{G(x)}{x^2}$ . Ισχύει K(1) = 0

. Επίσης, με διαδοχικά de l'Hospital, βλέπουμε ότι $\displaystyle \lim_{x \to 0} K(x) = \lim_{x \to 0} \frac{I(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2} = 0$ .

Έτσι, από θ. Rolle, $K' (\xi) = 0$ για κάποιο $\xi \in (0,1)$ . Έχουμε $\displaystyle K'(x) = \frac{x^2 I(x) - 2x G(x)}{x^4}$ , οπότε $\displaystyle G(\xi) = \frac{\xi}{2} I(\xi)$ . Αλλά επίσης $\displaystyle G(\xi) = \xi I(\xi) - \int_0^{\xi} x f(x) \mathrm{d} x$ (κατά μέρη) και έτσι $\displaystyle \int_0^{\xi} x f(x) \mathrm{d} x = \frac{\xi}{2} I(\xi)$ που είναι το ζητούμενο.

Tolaso J Kos · #3

Δημήτρη,

πάρα πολύ ωραία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λίγο διαφορετικά από τον Δημήτρη.
Δηλαδή άλλη παρουσίαση της ίδιας λύσης.

Θεωρούμε την $F(x)=\dfrac{\int_{0}^{x}tf(t)dt}{x^{2}}-\dfrac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x}$ για 0< x< 1

Προφανώς

και με de L Hospital $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F(x)=0$

Ετσι για την

μπορούμε να εφαρμόσουμε Rolle.

Επειδή $F'(x)=-2x^{-3}\int_{0}^{x}tf(t)dt+\frac{f(x)}{x}+x^{-2}\int_{0}^{x}f(t)dt-\frac{f(x)}{x}$
παίρνουμε το ζητούμενο.
Η συνθήκη f(0)=0

είναι ουσιαστική και δεν μπορεί να παραληφθεί.
Ο ορισμός της

έγινε έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί η συνθήκη f(0)=0

Ύπαρξη ξ

Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Μέλη σε σύνδεση