Euler 2013/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8307
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Euler 2013/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Οκτ 25, 2016 11:17 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} οι οποίες ικανοποιούν την σχέση

\displaystyle{ f(x) - 2013f\left( \frac{2x}{1-x^2}\right) = 89}

για κάθε x \neq -1,1.



Λέξεις Κλειδιά:
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Euler 2013/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τετ Οκτ 26, 2016 2:24 am

έστω μια f που ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή τότε :

Βάζω όπου x το tanx
και έτσι έχω

f(tanx)-2013f(tan(2x))=89΄

εδώ θέτω h(x)=f(tanx)
h(x)-2013h(2x)=89 (1)

έστω λοιπόν ένα σταθερό x_{0} \in \mathbb{R}

τότε έχω h(\frac{x_{0}}{2})-h(x_{0})=89
διαδοχικά βάζω στην (1) όπου x το \frac{x_{0}}{2^n}


έπειτα γράφω h(\frac{x_{0}}{2^n})-2013h(\frac{x_{0}}{2^{n-1}})=89

εδώ θεωρώ την y_{n}=h(\frac{x_{0}}{2^{n-1}})
τοτε θα ισχύει το εξής y_{n+1}-2013y_{n}=89

Βρίσκοντας τον γενικό όρο της ακολουθίας y_{n}=y_{1}+\frac{2013^{n-1}-1}{2013-1}(y_{2}-y_{1})

έστω y_{1} \neq y_{2}
άρα αφήνωντας το n \to \infty

y_{n} \to \infty άτοπο γιατι y_{n} \to h(0)
λόγω συνέχειας οπότε

y_{1}=y_{2}

y_{1}=-\frac{89}{2012}

άρα h(x_{0})=-\frac{89}{2012}

αρα f(tanx)=-\frac{89}{2012} \Rightarrow f(x)=-\frac{89}{2012}

επαληθεύει οπότε τις η μοναδικη λύση ειναι η

f(x)=-\frac{89}{2012}


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8307
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Euler 2013/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 26, 2016 10:15 am

Σωστά.

Να προσθέσω όμως ότι τα πιο πάνω ισχύουν μόνο για x \neq -1,1. Για x \in \{-1,1\} το αποτέλεσμα έπεται από την συνέχεια της f. Θα πρέπει βέβαια να πούμε και ότι η \tan στο (-\pi/2,\pi/2) είναι επί του \mathbb{R}.

[Τα πιο πάνω λείπουν και από την επίσημη λύση οπότε δεν γνωρίζω πόσο σοβαρά λαμβάνονταν υπόψη.]


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες