Α-τύπη

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Α-τύπη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Οκτ 25, 2016 2:30 pm

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0, +\infty) \to  R με f(0)=0 με την f' γνήσια αύξουσα στο (0, +\infty). Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις \displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0} και την αρχική της g την G(x), x>0, G(2)=0.

A. Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης g.

B. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση G είναι κυρτή.

Γ. Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{G(3)<\int_{3}^{4}g(x)dx}

Δ. Αν x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4 να βρεθεί πότε η παράσταση G(x_1) + G(x_2) έχει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Α-τύπη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 26, 2016 12:02 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0, +\infty) \to  R με f(0)=0 με την f' γνήσια αύξουσα στο (0, +\infty). Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις \displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0} και την αρχική της g την G(x), x>0, G(2)=0.

A. Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης g.

B. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση G είναι κυρτή.

Γ. Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{G(3)<\int_{3}^{4}g(x)dx}

Δ. Αν x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4 να βρεθεί πότε η παράσταση G(x_1) + G(x_2) έχει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή.
...μιά προσπάθεια....

Α) Είναι η συνάρτηση \displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0} παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με

{g}'(x)=\frac{x{f}'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}},x>0(1) Επίσης για την συνάρτηση f: [0, +\infty) \to  R στο διάστημα [0,\,\,x],\,\,x>0

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει \xi \in (0,\,\,x) ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow x{f}'(\xi )=f(x)

επομένως ισχύει από (1) {g}'(x)=\frac{x{f}'(x)-x{f}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{f}'(x)-{f}'(\xi )}{x}>0 αφού

{f}'είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty ) και ισχύει ότι \xi <x οπότε η g είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty )

Β) Είναι {G}'(x)=g(x),\,\,x>0 αφού G είναι μία αρχική της g στο (0,\,\,+\infty ) και επειδή από (Α) η g είναι γνήσια αύξουσα στο

(0,\,\,+\infty ) η {G}' είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty ) άρα η G είναι κυρτή στο (0,\,\,+\infty )

Γ) Αρκεί G(3)<\int\limits_{3}^{4}{g}(x)dx\Leftrightarrow G(3)<G(4)-G(3)\Leftrightarrow G(3)-G(2)<G(4)-G(3)(2)

Για την G σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [2,\,\,3],\,\,[3,\,\,4] υπάρχουν {{\xi }_{1}}\in (2,\,\,3),\,\,{{\xi }_{2}}\in (3,\,\,4) ώστε

{G}'({{\xi }_{1}})=\frac{G(3)-G(2)}{3-2},\,\,{G}'({{\xi }_{2}})=\frac{G(4)-G(3)}{4-3} ή g({{\xi }_{1}})=G(3)-G(2),\,\,g({{\xi }_{2}})=G(4)-G(3)

και αφού \displaystyle{{{\xi }_{1}}<{{\xi }_{2}}} και g είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty ) ισχύει ότι

g({{\xi }_{1}})<g({{\xi }_{2}})\Leftrightarrow G(3)-G(2)<G(4)-G(3) άρα η (2) ισχύει.

Δ) Για x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4 αν {{x}_{1}}={{x}_{2}}=2 τότε G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})=G(2)+G(2)=0 και αν {{x}_{1}}<{{x}_{2}}

εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [{{x}_{1}},\,\,\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}],\,\,[\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,\,{{x}_{2}}]

προκύπτει λόγω κυρτότητας της G η σχέση G\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right)<\frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2} και λόγω

{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 ισχύει ότι G\left( 2 \right)<\frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2}\Leftrightarrow \frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2}>0\Leftrightarrow G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})>0

όμοια και αν {{x}_{1}}>{{x}_{2}} και άρα ισχύει G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})\ge 0 για κάθε x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4

επομένως η ελάχιστη τιμή της G(x_1) + G(x_2) είναι 0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες