Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Eυ. N. · #1761

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Για το πρώτο :
$-4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}$
Και τώρα πες μου γιατί ο συλλογισμός αυτός έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα το οποίο ακολουθεί τον ίδιο (εσφαλμένο) συλλογισμό σου για να διαπιστώσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά.

Πες ότι η εξίσωση έρχεται στην μορφή $x= \frac {-42}{x} + \frac {67y}{x}$ .

Με την ίδια λογική που έγραψες, θα είχαμε ότι διαιρεί τον .

Συμφωνούμε μέχρι εδώ;

Να όμως που η εξίσωση αυτή έχει λύση την $x=5, \, y=1$ (και άλλες) αλλά το δεν διαιρεί το .

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά με τον συλλογισμό σου.

Ακριβώς. Όπως είπα δεν υπολόγισα το άθροισα-την διαφορά των κλασμάτων.

Eυ. N. · #1762

Σε περίπτωση όμως που ήταν μόνο ένας όρος στο β'μέλος ο συλλογισμός θα ήταν σωστός.

#1763

Eυ. N. έγραψε:Σε περίπτωση όμως που ήταν μόνο ένας όρος στο β'μέλος ο συλλογισμός θα ήταν σωστός.

Και εδώ που δεν είναι ένας όρος, ο συλλογισμός είναι λάθος.

Από κάτω γράφω σωστή λύση.

#1764

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 552 (Βαθμός δυσκολίας 8, με κλίμακα από 1 έως 10). Να ΄λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{9y^2 -4x^2 = 12y +17x - 42}$ , με $\displaystyle{x,y \in N}$

Ξεχάστηκε.

Αφού πολλαπλασιάσουμε επί

η εξίσωση παίρνει την μορφή

$\displaystyle{(8x+12y+9)(8x-12y +25)=897= 3\cdot 13 \cdot 23}$

Οπότε οι παράγοντες αριστερά είναι διαιρέτες του 897

και συγκεκριμένα έχουμε τις περιπτώσεις

α) $\displaystyle{8x+12y+9= 897, \, 8x-12y +25= 1}$ . Λύνοντας το γραμμικό σύστημα θα βρούμε $x=54, \, y=38$ (δεκτή).
β) $\displaystyle{8x+12y+9= 299, \, 8x-12y +25= 3}$ . Θα βρούμε $x=16\frac {3}{4}, \, y=...$ (απορρίπτεται).
γ) $\displaystyle{8x+12y+9= 69, \, 8x-12y +25= 13}$ . Θα βρούμε $x=3, \, y=3$ (δεκτή).

Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις (στην πραγματικότητα μόνο αλλή μία, που όμως δεν δίνει λύση). Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.

#1765

ΑΣΚΗΣΗ 591: (Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)

: ΣΧΑ2.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 4344 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με κορυφή το $\displaystyle{A}$ και έστω $\displaystyle{B\Delta}$ το ύψος του. Στην προέκταση της $\displaystyle{BA}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{E}$ ,
ώστε να είναι $\displaystyle{AE=A\Delta}$ . Αν η $\displaystyle{E\Delta}$ τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{Z}$ ,
(α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{EZ}$ είναι κάθετη με την $\displaystyle{B\Gamma}$
(β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{EBZ}$ και $\displaystyle{\Delta Z \Gamma}$ είναι όμοια
(γ) Αν επί πλέον δίνεται ότι $\displaystyle{\frac{A\Delta}{\Delta\Gamma}=\frac{1}{2}}$ , να βρείτε τον λόγο $\displaystyle{\frac{(EBZ)}{(\Delta Z \Gamma)}}$ .

Silver · #1766

Συγνώμη για το "εκτός θέματος" αλλά πώς μπορώ να πάρω την φωτογραφία, να την επεξεργαστώ και να την ξανανεβάσω στο φόρουμ.

Ορέστης Λιγνός · #1767

ΑΣΚΗΣΗ 35

Ξεχάστηκε... ( δεν βρήκα κάπου λύση και έτσι γράφω την δική μου ).

Η παράσταση αυτή γράφεται : P = 3(a^2+4a+7)

.

Όμως, $12=4 \cdot 3 , gcd(4,3)=1$ . Όμως, $3 \mid P$ και άρα αρκεί $4 \mid a^2+4a+7$ .
Γνωρίζουμε όμως ότι, για περιττούς

ισχύει $a^2 \equiv 1(mod 4)$ και άρα $a^2+4a+7 \equiv 1+4a+7(mod 4) = 4a+8(mod 4) \equiv o(mod 4)$ , το ζητούμενο.

Ορέστης Λιγνός · #1768

ΑΣΚΗΣΗ 591

(α) Ας θέσουμε $AED=ADE = \phi , ABC=ACB= \omega$ . Στο τρίγωνο ADE

, η γωνία

είναι εξωτερική και άρα $A=2\phi$ .
Όμως, $A+B+C=180 \Leftrightarrow 2\phi+2\omega = 180 \Leftrightarrow \phi+\omega = 90 \Leftrightarrow ADE+C=90 \Leftrightarrow ZDC+C=90$ , και άρα DZC=90

, το ζητούμενο.

(β) Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια, διότι έχουν μία ορθή γωνία( τις EZB , DZC

, αντίστοιχα ) και τις γωνίες

και

ίσες. Άρα είναι ισογώνια και το ζητούμενο έπεται.

(γ) Θέτω AD=AE=x, DC=2x, AC=3x, AB=3x

. Άρα, $\frac{EB}{DC} = \frac{4x}{2x}=2$ . Οπότε, ο λόγος ομοιότητας $\lambda$ είναι ίσος με $\frac{1}{2}$ . Έτσι, ο λόγος των εμβαδών είναι $\frac{DZC}{EBZ}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{EBZ}{DZC} = 4$ .

#1769

Silver έγραψε:Συγνώμη για το "εκτός θέματος" αλλά πώς μπορώ να πάρω την φωτογραφία, να την επεξεργαστώ και να την ξανανεβάσω στο φόρουμ.

Νομίζω ότι είναι εύκολο να το φτιάξεις στο Geogebra, να το μεταφέρεις πάνω δεξιά, να το βάλεις (πατώντας δεξί κλικ) σε πλαίσιο, να πας "αρχείο", εξαγωγή, Προβολή γραφικών ως εικόνα , Αποθήκευση (στην επιφάνεια εργασίας).
Μετά για να το ανεβάσεις εδώ, βρες και πάτα Προσθήκη συνημμένου, επιλογή αρχείου, επέλεξε το από την επιφάνεια εργασίας, μετά πάτα προσθήκη αρχείου και μετά προβολή στην δημοσίευση.

Ορέστης Λιγνός · #1770

Επαναφέρω την ΑΣΚΗΣΗ 557. Έχω μερικές σκέψεις, αλλά αύριο θα ασχοληθώ σοβαρά με την άσκηση λόγω του περασμένου της ώρας.

Ορέστης Λιγνός · #1771

(α) Λύνοντας την διτετράγωνη εξίσωση που προκύπτει λαμβάνουμε $n_1=1,n_2=-\frac{40}{9}$ .

(β) Δεν υπάρχουν, γιατί το a_n

είναι πάντα άρτιος, ανεξάρτητα από την αρτιοπεριττότητα του

. Όμως, το 2m^3+3

είναι περιττός.

(γ) Απλώς, το a_n

παραγοντοποιείται ως a_n=(n^2-1)(9n^2+40)

, το οποίο, ως γινόμενο δύο αριθμών διάφορων του

δεν είναι πρώτος.( τα n^2-1

,

είναι προφανώς > 1

, διότι, αν κάποιο ήταν

, θα είχαμε εύκολα n^2=2

ή $n^2= -\frac{13}{3}$ , με τις δύο περιπτώσεις να είναι προφανώς αδύνατες. μιας και $n \in \mathbb{N}$ .).

Τα υπόλοιπα αύριο...

#1772

ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν $\displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2 -y^2 =2(xy+xz+yz)}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y=z=0}$

Ορέστης Λιγνός · #1773

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν $\displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2 -y^2 =2(xy+xz+yz)}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y=z=0}$

Μία λύση με πολλές, πολλές πράξεις.

Εξισώνοντας την δεύτερη με την τρίτη σχέση λαμβάνουμε ότι $\displaystyle{z^2=3y^2-3x^2}$ (1).
Εξισώνοντας τώρα την πρώτη με την δεύτερη σχέση και χρησιμοποιώντας την (1), παίρνουμε ότι $\boxed{y^2=2x^2}$ .
Ομοίως, με την πρώτη και την τρίτη σχέση είναι $\boxed{z^2=3x^2}$ .

Έχουμε τώρα τέσσερις περιπτώσεις

1) $y=x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}$
2) $y=-x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}$ κλπ

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση. Εξισώνοντας πρώτη και τέταρτη σχέση και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις $y=x\sqrt{2},z=x\sqrt{3}$ , παίρνουμε ότι $x(12-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})=0$ . Ο αριθμός στην παρένθεση είναι προφανώς διάφορος του μηδέν, αφού $12 \in \mathbb{Q}$ ενώ το $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ είναι άρρητος.
Συνεπώς, x=0

και εύκολα x=y=z=0

, που είναι και το ζητούμενο.

Ομοίως και οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

#1774

orestis26 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν $\displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2 -y^2 =2(xy+xz+yz)}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y=z=0}$
Μία λύση με πολλές, πολλές πράξεις.

Εξισώνοντας την δεύτερη με την τρίτη σχέση λαμβάνουμε ότι $\displaystyle{z^2=3y^2-3x^2}$ (1).
Εξισώνοντας τώρα την πρώτη με την δεύτερη σχέση και χρησιμοποιώντας την (1), παίρνουμε ότι $\boxed{y^2=2x^2}$ .
Ομοίως, με την πρώτη και την τρίτη σχέση είναι $\boxed{z^2=3x^2}$ .

Έχουμε τώρα τέσσερις περιπτώσεις

1) $y=x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}$
2) $y=-x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}$ κλπ

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση. Εξισώνοντας πρώτη και τέταρτη σχέση και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις $y=x\sqrt{2},z=x\sqrt{3}$ , παίρνουμε ότι $x(12-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})=0$ . Ο αριθμός στην παρένθεση είναι προφανώς διάφορος του μηδέν, αφού $12 \in \mathbb{Q}$ ενώ το $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ είναι άρρητος.
Συνεπώς, και εύκολα , που είναι και το ζητούμενο.

Ομοίως και οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

Ωραιότατα Ορέστη!!!

Ας δούμε και μια ακόμα λύση: Έχουμε:

$\displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 =2(xy+yz+zx)}$ , (1)
$\displaystyle{5y^2 +z^2 - x^2 =2(xy+yz+zx)}$
$\displaystyle{3z^2 +5x^2 - y^2 =2(xy+yz+zx)}$

Με πρόσθεση κατά μέλη των πιο πάνω εξισώσεων, παίρνουμε:

$\displaystyle{15x^2 +6y^2 +3z^2 =6(xy+yz+zx)\Leftrightarrow 5x^2 +2y^2 +z^2 =2xy+2yz+2zx \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{4x^2 +y^2 -4xy+x^2 +y^2 +z^2 +2xy-2yz-2zx=0\Leftrightarrow (2x-y)^2 +(x+y-z)^2 =0}$ . Άρα $\displaystyle{y=2x}$ και $\displaystyle{z=x+y}$ , δηλαδή

$\displaystyle{y=2x}$ και $\displaystyle{z=3x}$ .

Τώρα η (1) γράφεται $\displaystyle{11x^2 +8x^2 -9x^2 = 2(2x^2 +6x^2 +3x^2) \Leftrightarrow 10x^2 = 22x^2 \Leftrightarrow 12x^2 =0\Leftrightarrow x=0}$

Άρα $\displaystyle{x=y=z=0}$ (που επαληθεύουν και τις αρχικές συνθήκες)

#1775

ΑΣΚΗΣΗ 593: Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy}$
$\displaystyle{3y^2 +2z^2 +1=4yz}$
$\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 =2z}$

Ορέστης Λιγνός · #1776

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 593: Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy}$
$\displaystyle{3y^2 +2z^2 +1=4yz}$
$\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 =2z}$

Καλησπέρα!
Προσθέτοντας κατά μέλη λαμβάνουμε $\displaystyle{5z^2+5y^2+x^2+1=4xy+4yz+2z}$ .
Αυτή γράφεται $\displaystyle{(z-1)^2+(x-2y)^2+(y-2z)^2=0}$ . από όπου έχουμε την λύση (x,y,z)=(4,2,1)

, η οποία όμως δεν επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις και άρα απορρίπτεται.

Υ.Γ. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός στις πράξεις.Είναι και η μεσημεριανή ξεκούραση...

Φιλικά,
Ορέστης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1777

Για την ΑΣΚΗΣΗ 593
Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

#1778

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Για την ΑΣΚΗΣΗ 593
Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

Όχι Σταύρο, δεν υπάρχει τυπογραφικό. Η ιδέα της κατασκευής ήταν να λυθεί με τον τρόπο που έκανε ο Ορέστης και ύστερα όμως να γίνει οπωσδήποτε η επαλήθευση. Τώρα βέβαια, πολύ καλά παρατήρησες ότι έβγαινε αδύνατο και μόνο από την δεύτερη εξίσωση, οπότε και πάλι είναι αδύνατο το σύστημα. Αυτό θα μπορούσε να διορθωθεί , αν το σύστημα δινόταν π.χ ως εξής:

$\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy-8}$
$\displaystyle{3y^2 +2z^2 -2016=4yz}$
$\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 = 2z-2009}$

Τότε με τον τρόπο που έκανε ο Ορέστης, λύνεται εύκολα.

#1779

ΑΣΚΗΣΗ 594: (Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10) . Αν ο αριθμός $\displaystyle{(2n+1)^2 +2^{2n+1} -1}$

δεν διαιρείται με το

, να βρεθεί ο μη αρνητικός ακέραιος αριθμός

papamixalis · #1780

594 μια προσπάθεια.αν κάνουμε τις πράξεις καταλήγουμε στο $4n^2+4n+2 \cdot 4^n$ όλοι οι όροι διαιρούνται με το

Εκτός εαν

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση