Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1741

ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

$\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}$

#1742

ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)

: ΣΧ Β1.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 3254 φορές

Οι κύκλοι $\displaystyle{(K,3)}$ και $\displaystyle{(O,9)}$ εφάπτονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ και έστω $\displaystyle{AB}$ το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα $\displaystyle{AB}$ (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου

$\displaystyle{AEB}$ ).

ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία K,E,O

είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)

Eυ. N. · #1743

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

$\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}$

Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται

ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90

, επομένως αφού έχουμε

εκαντοντάδες και

ακόμα

, ο αριθμός θα λήγει σε 20*5+1=101

μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη

αριών.

Eυ. N. · #1744

Το πρόβλημα γεωμετρίας δεν μου φαίνεται πολύ δυσπροσέγγιστο. Θα το επιχειρήσω αργότερα.

Eυ. N. · #1745

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)

ΣΧ Β1.png
Οι κύκλοι $\displaystyle{(K,3)}$ και $\displaystyle{(O,9)}$ εφάπτονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ και έστω $\displaystyle{AB}$ το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα $\displaystyle{AB}$ (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου

$\displaystyle{AEB}$ ).

ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)

Δημιουργούμε τα ευθύγραμμα τμήματα KA,KO,OB

και παρατηρούμε ότι σχηματίζεται το τραπέζιο KABO

με $A=B=90^{o},AKO=120^{o} και O=360^{o}-300^{o}=60^{o}$ .
Απο τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε ότι KA=3

&

. Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα

στο

έτσι ώστε $BOZ=30^{o}$ . Παρατηρούμε ότι AZ=ZB

, επομένως

είναι το μέσο του

. Από την εφαπτομένη των $30^{o}$ λαμβάνουμε ότι $BZ=3*\sqrt{{3}}$ . Επομένως $BA=6*\sqrt{{3}}$ . Έτσι, έχουμε $(KABO)=\frac{(KA+OB)AB}{2}=36*\sqrt{{3}}$ τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα $AKE=\frac{3,14*9}{3}=9.42$ τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομεα $(BOE)=\frac{3,14*81}{6}=42,39$ τετραγωνικές μονάδες. Τώρα απλά αφαιρούμε από το εμβαδόν του τραπεζίου το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών δίσκων. Και έχουμε $36*\sqrt{{3}}-(9,42+42,39)=36*\sqrt{{3}}-(51,81)=10,54$ τετραγωμικές μονάδες περίπου. Τέλος. (Δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό. Με συγχωρείτε που δεν δικαιολόγησα αρκετά πράγματα δεν προλαβαίνω)

Eυ. N. · #1746

Το επίπεδο αυτό αντιστοιχεί στον δικό μας Αρχιμήδη;

#1747

Πώς αιτιολογείς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: $AKO=120^{o}$

και πώς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι

Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.

#1748

Eυ. N. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

$\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}$
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών.

Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το

με το

θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.

Eυ. N. · #1749

Demetres έγραψε:
Eυ. N. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

$\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}$
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών.
Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το με το θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.

Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται

ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90

(από το

παίρνουμε

, επομένως αφού έχουμε

εκαντοντάδες και

ακόμα

, ο αριθμός θα λήγει σε 20*6+1=121

μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη

αριών. (Έπειτα από υπόδειξη του Demetres διόρθωσα την άσκηση, χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι σωστή)

ealexiou · #1750

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

$\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}$

$A=2\cdot6\cdot10\cdot...\cdot2018=$ $2*1\cdot2*3\cdot2*5\cdot...\cdot2*1009=$ $2^{505}(1\cdot3\cdot5\cdot....\cdot1009)$

Οι αριθμοί $(5,15,25,...1005)\cdot 2$ δίνουν 1009/10+1=101

μηδενικά.

Οι αριθμοί $(25,75,125,...925,975)\cdot 2^{2}$ δίνουν από

μηδενικά ο καθένας, όμως ένα στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του

) έχει μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον 975/50+1=20

μηδενικά.

Οι αριθμοί $(125,375,625,875)\cdot 2^{3}$ δίνουν από

μηδενικά ο καθένας, όμως

στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του

) έχουν μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον

μηδενικά.

Ο αριθμός $2^{4}\cdot625(=25\cdot25)$ δίνει

μηδενικά, τρία όμως έχουν μετρηθεί (ένα σαν πολλαπλάσιο του

και από ένα για κάθε

, άρα δίνει ένα (

επιπλέον μηδενικό.

Άρα ο αριθμός

λήγει σε

μηδενικά.

Eυ. N. · #1751

Atemlos έγραψε:Άσκηση 2)

Να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a = {3^4} \cdot {44^3}}$ και $\displaystyle{b = {4^3} \cdot {33^4}}$

(Ελπίζω να μην έχει ξαναμπεί)

Έχουμε: $a=3^{4}*44^{3}=3*(3*44)^{3}=3*(132)^{3}$
$b=4^{3}*33^{4}=33(4*33)^{3}=33(132)^{3}$
Θέτουμε ως $c=(132)^{3}$
Συνεπώς, a=3c, b=33c

. Επομένως a<b

#1752

Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: $AKO=120^{o}$
και πώς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.

Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.

Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).

Φέρνουμε την κάθετο

από το

στην

. Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο KOA

είναι

και

. Από το Πυθαγόρειο είναι $KL=6\sqrt 3$ . Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι OK=2OL

, έπεται (γνωστό και απλό) ότι $\angle KOB=60^o, \, \angle OKL = 30^o$ και άρα $\angle OKA=120^o$ . Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι

$\frac {1}{2} (3+9)6\sqrt 3 - \frac {1}{3} \pi \cdot 3^2 - \frac {1}{6} \pi \cdot 9^2=36\sqrt 3 - \frac {33\pi}{2}$ .

Eυ. N. · #1753

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: $AKO=120^{o}$
και πώς αυτό:

Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.
Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.

Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).

Φέρνουμε την κάθετο από το στην . Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και . Από το Πυθαγόρειο είναι $KL=6\sqrt 3$ . Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι , έπεται (γνωστό και απλό) ότι $\angle KOB=60^o, \, \angle OKL = 30^o$ και άρα $\angle OKA=120^o$ . Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι

$\frac {1}{2} (3+9)6\sqrt 3 - \frac {1}{3} \pi \cdot 3^2 - \frac {1}{6} \pi \cdot 9^2=36\sqrt 3 - \frac {33\pi}{2}$ .

Με συγχωρείτε και εγώ το ίδιο εμβαδόν δεν βρήκα; Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;

Αρχιμήδης 6 · #1754

Γεια σου Ευ.Ν.
Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα.
Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσε, πως την ενίσχυσε...

Είναι σαν έναν μαχητή που έχει οπλοστάσιο.Νικάει και χάνει.
Καμιά φορά όμως που ο αγώνας είναι άνισος εκείνος βρίσκει από κάπου δύναμη να νικήσει. Εύχομαι να νικάς .

Σοφόν το σαφές...

#1755

Eυ. N. έγραψε:<...> Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;

Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη της ακριβολογίας. Απαγορεύονται οι τελείως αυθαίρετοι ισχυρισμοί ή οτιδήποτε που δεν συνοδεύεται από απόδειξη (έστω με νύξη απόδειξης αν τα παραλειπόμενα είναι προσιτά). Οτιδήποτε έξω από τους κανόνες των Μαθηματικών είναι ότι η Αστρολογία για την Αστρονομία ή τα κομπογιαννίτικα γιατροσόφια για την Ιατρική. Για παράδειγμα ένας ισχυρισμός του τύπου AZ=ZB

επειδή "μου φάνηκαν ίσα με το μάτι" καταστρέφει τελείως μία απόδειξη. Για τον Μαθηματικό τέτοιοι συλλογισμοί είναι όχι μόνο εσφαλμένοι, αλλά εξοργιστικά εσφαλμένοι.

#1756

Γεια σου Eu. N

Θέλω να σου εξηγήσω μερικά πράγματα για να μην νομίζεις ότ είμαστε παράλογοι. Θα εστιάσω σε αυτά που σημείωσε ο κ. Λάμπρου.

Eυ. N. έγραψε: $AKO=120^{o}$

: Γυμνάσιο.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 2835 φορές

Φέρνω την $\displaystyle{KH \bot OB}$ , οπότε HB=3, OH=OB-HB=9-3=6

$\displaystyle{\eta \mu \omega = \frac{{OH}}{{OK}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}}$ , άρα $\omega=30^0$ , οπότε $\boxed{\widehat{AKO}=90^0+30^0=120^0}$ .

Εσύ από όλα αυτά έγραψες μόνο ότι η γωνία είναι 120^0

χωρίς να αιτιολογήσεις τίποτα. Αν αυτό το διάβαζες σε κάποια λυμένη άσκηση του βιβλίου σου ή σε κάποιο βοήθημα θα ήσουν ικανοποιημένος;

Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι

Τα τρίγωνα OEZ, OBZ

έχουν

, την πλευρά

κοινή και $\widehat{EOZ}=\widehat{ZOB}=30^0$ , άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π),

οπότε $\widehat{ZEO}=\widehat{ZBO}=90^0$ , δηλαδή η

εφάπτεται στον κύκλο (O)

και στον κύκλο (K)

και θα είναι ZB=ZE=ZA

.

Βλέπεις λοιπόν ότι αυτό το "Παρατηρούμε ότι AZ=ZB

", δεν σημαίνει τίποτα όταν δεν ακολουθείται από κάποια αιτιολόγηση και να είσαι σίγουρος ότι δεν βαθμολογείται κιόλας.

#1757

ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $\displaystyle{A=2a^3 -5a^2 b+ab^2 +2b^3}$ , αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο $\displaystyle{a-b}$

Al.Koutsouridis · #1758

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $\displaystyle{A=2a^3 -5a^2 b+ab^2 +2b^3}$ , αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο $\displaystyle{a-b}$

Κάνουμε την κάθετη διαίρεση όπως στο σχήμα

$\begin{array}{c|l} 2a^3-5a^2b+ab^2+2b^3 & \underline{a-b \phantom{3ab-2b^2}} \\ \underline{-(2a^3-2a^2b)} \phantom{+ab^2+2b^3} & 2a^2-3ab+2b^2 \\ 0 - 3a^2b + ab^2 + 2b^3 & \\ \underline{- (-3a^2b + 3ab^2)} & \\ \phantom{2a^3+}0 - 2ab^2 + 2b^3 & \\ \phantom{2a^3+}\underline{-(- 2ab^2 + 2b^3)} & \\ \phantom{2a^3+}0 + 0 & \end{array}$

οπότε προκύπτει

A = (a-b)(2a^2 - 3ab-2b^2)

Eυ. N. · #1759

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: $x(-4x-17)=-42-9y^{2}+12y$
Από την προκύπτει ότι
Για ξαναδές το αυτό. Από που ακριβώς προκύπτει οτι ο διαιρεί τον ;

Eυ. N. έγραψε: ύση αποτελεί και το ζεύγος (ευχαριστώ τον κύριο Αλεξίου για την λύση που είχα ξεχάσει)
Από που ακριβώς την ξέχασες, αφού το δεν διαιρεί το (ισχυρισμός παραπάνω) ώστε να υπεισέλθει κάπως στον συλλογισμό σου;

Για το πρώτο :
$x(-4x-17)=-42-9y^{2}+12y$ ή $-4x-17=\frac{-42-9y^{2}+12y}{x}$ ή $-4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}$
Για το δεύτερο:
Ο συλλογισμός μου θα ταίριαζε καλύτερα αν το β'μέρος της εξίσωση αποτελούταν από μόνο έναν όρο. Στην προκειμένη περίπτωση δεν υπολόγισα το άθροισμα των κλασμάτων. Δεν το ξέχασα, καθώς δεν το είχα καν σκεφτεί, όπως προείπα. Ο κύριος Αλεξίου το βρήκε με WolframAlpha. Είπα απλά ότι το είχα ξεχάσει για να συμπεριλάβω όλες τις δυνατές λύσεις στην λύση μου.

#1760

Eυ. N. έγραψε: Για το πρώτο :
$-4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}$

Και τώρα πες μου γιατί ο συλλογισμός αυτός έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα το οποίο ακολουθεί τον ίδιο (εσφαλμένο) συλλογισμό σου για να διαπιστώσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά.

Πες ότι η εξίσωση έρχεται στην μορφή $x= \frac {-42}{x} + \frac {67y}{x}$ .

Με την ίδια λογική που έγραψες, θα είχαμε ότι

διαιρεί τον

.

Συμφωνούμε μέχρι εδώ;

Να όμως που η εξίσωση αυτή έχει λύση την $x=5, \, y=1$ (και άλλες) αλλά το x=5

δεν διαιρεί το

.

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά με τον συλλογισμό σου.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση