Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)
Οι κύκλοι και εφάπτονται στο σημείο και έστω το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου
).
ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)
Οι κύκλοι και εφάπτονται στο σημείο και έστω το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου
).
ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών.
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Το πρόβλημα γεωμετρίας δεν μου φαίνεται πολύ δυσπροσέγγιστο. Θα το επιχειρήσω αργότερα.
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Δημιουργούμε τα ευθύγραμμα τμήματα και παρατηρούμε ότι σχηματίζεται το τραπέζιο με .ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)
Οι κύκλοι και εφάπτονται στο σημείο και έστω το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου
).
ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)
Απο τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε ότι & . Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα στο έτσι ώστε . Παρατηρούμε ότι , επομένως είναι το μέσο του . Από την εφαπτομένη των λαμβάνουμε ότι . Επομένως . Έτσι, έχουμε τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομεα τετραγωνικές μονάδες. Τώρα απλά αφαιρούμε από το εμβαδόν του τραπεζίου το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών δίσκων. Και έχουμε τετραγωμικές μονάδες περίπου. Τέλος. (Δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό. Με συγχωρείτε που δεν δικαιολόγησα αρκετά πράγματα δεν προλαβαίνω)
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Το επίπεδο αυτό αντιστοιχεί στον δικό μας Αρχιμήδη;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Πώς αιτιολογείς αυτό:
και πώς αυτό:Eυ. N. έγραψε:
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το με το θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.Eυ. N. έγραψε:Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών.
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς (από το παίρνουμε , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.Demetres έγραψε:Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το με το θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.Eυ. N. έγραψε:Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς , επομένως αφού έχουμε εκαντοντάδες και ακόμα , ο αριθμός θα λήγει σε μηδενικά.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη αριών. (Έπειτα από υπόδειξη του Demetres διόρθωσα την άσκηση, χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι σωστή)
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός
Οι αριθμοί δίνουν μηδενικά.
Οι αριθμοί δίνουν από μηδενικά ο καθένας, όμως ένα στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του ) έχει μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον μηδενικά.
Οι αριθμοί δίνουν από μηδενικά ο καθένας, όμως στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του ) έχουν μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον μηδενικά.
Ο αριθμός δίνει μηδενικά, τρία όμως έχουν μετρηθεί (ένα σαν πολλαπλάσιο του και από ένα για κάθε , άρα δίνει ένα ( επιπλέον μηδενικό.
Άρα ο αριθμός λήγει σε μηδενικά.
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Έχουμε:Atemlos έγραψε:Άσκηση 2)
Να συγκριθούν οι αριθμοί και
(Ελπίζω να μην έχει ξαναμπεί)
Θέτουμε ως
Συνεπώς, . Επομένως
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:
και πώς αυτό:Eυ. N. έγραψε:
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).
Φέρνουμε την κάθετο από το στην . Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και . Από το Πυθαγόρειο είναι . Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι , έπεται (γνωστό και απλό) ότι και άρα . Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι
.
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Με συγχωρείτε και εγώ το ίδιο εμβαδόν δεν βρήκα; Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;Mihalis_Lambrou έγραψε:Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:
και πώς αυτό:Eυ. N. έγραψε:
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).
Φέρνουμε την κάθετο από το στην . Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και . Από το Πυθαγόρειο είναι . Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι , έπεται (γνωστό και απλό) ότι και άρα . Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι
.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Γεια σου Ευ.Ν.
Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα.
Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσε, πως την ενίσχυσε...
Είναι σαν έναν μαχητή που έχει οπλοστάσιο.Νικάει και χάνει.
Καμιά φορά όμως που ο αγώνας είναι άνισος εκείνος βρίσκει από κάπου δύναμη να νικήσει. Εύχομαι να νικάς .
Σοφόν το σαφές...
Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα.
Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσε, πως την ενίσχυσε...
Είναι σαν έναν μαχητή που έχει οπλοστάσιο.Νικάει και χάνει.
Καμιά φορά όμως που ο αγώνας είναι άνισος εκείνος βρίσκει από κάπου δύναμη να νικήσει. Εύχομαι να νικάς .
Σοφόν το σαφές...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη της ακριβολογίας. Απαγορεύονται οι τελείως αυθαίρετοι ισχυρισμοί ή οτιδήποτε που δεν συνοδεύεται από απόδειξη (έστω με νύξη απόδειξης αν τα παραλειπόμενα είναι προσιτά). Οτιδήποτε έξω από τους κανόνες των Μαθηματικών είναι ότι η Αστρολογία για την Αστρονομία ή τα κομπογιαννίτικα γιατροσόφια για την Ιατρική. Για παράδειγμα ένας ισχυρισμός του τύπου επειδή "μου φάνηκαν ίσα με το μάτι" καταστρέφει τελείως μία απόδειξη. Για τον Μαθηματικό τέτοιοι συλλογισμοί είναι όχι μόνο εσφαλμένοι, αλλά εξοργιστικά εσφαλμένοι.Eυ. N. έγραψε:<...> Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Γεια σου Eu. N
Θέλω να σου εξηγήσω μερικά πράγματα για να μην νομίζεις ότ είμαστε παράλογοι. Θα εστιάσω σε αυτά που σημείωσε ο κ. Λάμπρου.
, άρα , οπότε .
Εσύ από όλα αυτά έγραψες μόνο ότι η γωνία είναι χωρίς να αιτιολογήσεις τίποτα. Αν αυτό το διάβαζες σε κάποια λυμένη άσκηση του βιβλίου σου ή σε κάποιο βοήθημα θα ήσουν ικανοποιημένος;
οπότε , δηλαδή η εφάπτεται στον κύκλο και στον κύκλο και θα είναι .
Βλέπεις λοιπόν ότι αυτό το "Παρατηρούμε ότι ", δεν σημαίνει τίποτα όταν δεν ακολουθείται από κάποια αιτιολόγηση και να είσαι σίγουρος ότι δεν βαθμολογείται κιόλας.
Θέλω να σου εξηγήσω μερικά πράγματα για να μην νομίζεις ότ είμαστε παράλογοι. Θα εστιάσω σε αυτά που σημείωσε ο κ. Λάμπρου.
Φέρνω την , οπότεEυ. N. έγραψε:
, άρα , οπότε .
Εσύ από όλα αυτά έγραψες μόνο ότι η γωνία είναι χωρίς να αιτιολογήσεις τίποτα. Αν αυτό το διάβαζες σε κάποια λυμένη άσκηση του βιβλίου σου ή σε κάποιο βοήθημα θα ήσουν ικανοποιημένος;
Τα τρίγωνα έχουν , την πλευρά κοινή και , άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π),Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι
οπότε , δηλαδή η εφάπτεται στον κύκλο και στον κύκλο και θα είναι .
Βλέπεις λοιπόν ότι αυτό το "Παρατηρούμε ότι ", δεν σημαίνει τίποτα όταν δεν ακολουθείται από κάποια αιτιολόγηση και να είσαι σίγουρος ότι δεν βαθμολογείται κιόλας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: , αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο
είναι ο
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Κάνουμε την κάθετη διαίρεση όπως στο σχήμαΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: , αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο
οπότε προκύπτει
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Για το πρώτο :Mihalis_Lambrou έγραψε:Για ξαναδές το αυτό. Από που ακριβώς προκύπτει οτι ο διαιρεί τον ;Eυ. N. έγραψε:
Από την προκύπτει ότι
Από που ακριβώς την ξέχασες, αφού το δεν διαιρεί το (ισχυρισμός παραπάνω) ώστε να υπεισέλθει κάπως στον συλλογισμό σου;Eυ. N. έγραψε: ύση αποτελεί και το ζεύγος (ευχαριστώ τον κύριο Αλεξίου για την λύση που είχα ξεχάσει)
ή ή
Για το δεύτερο:
Ο συλλογισμός μου θα ταίριαζε καλύτερα αν το β'μέρος της εξίσωση αποτελούταν από μόνο έναν όρο. Στην προκειμένη περίπτωση δεν υπολόγισα το άθροισμα των κλασμάτων. Δεν το ξέχασα, καθώς δεν το είχα καν σκεφτεί, όπως προείπα. Ο κύριος Αλεξίου το βρήκε με WolframAlpha. Είπα απλά ότι το είχα ξεχάσει για να συμπεριλάβω όλες τις δυνατές λύσεις στην λύση μου.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Και τώρα πες μου γιατί ο συλλογισμός αυτός έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.Eυ. N. έγραψε: Για το πρώτο :
Ας δούμε ένα παράδειγμα το οποίο ακολουθεί τον ίδιο (εσφαλμένο) συλλογισμό σου για να διαπιστώσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά.
Πες ότι η εξίσωση έρχεται στην μορφή .
Με την ίδια λογική που έγραψες, θα είχαμε ότι διαιρεί τον .
Συμφωνούμε μέχρι εδώ;
Να όμως που η εξίσωση αυτή έχει λύση την (και άλλες) αλλά το δεν διαιρεί το .
Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά με τον συλλογισμό σου.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες