Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Συντονιστής: spyros
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 219
Σε ορθογώνιο γράφουμε το ημικύκλιο με διάμετρο (που τέμνει την ) και έστω το μέσον του τόξου .
H τέμνει την στο και η τέμνει το ημικύκλιο στο .
α. Να αποδειχθεί ότι η διέρχεται από το
β. Αν να υπολογιστεί το εμβαδόν του (συναρτήσει των )
γ. Να βρεθεί ο λόγος ώστε η να διχοτομεί την
H τέμνει την στο και η τέμνει το ημικύκλιο στο .
α. Να αποδειχθεί ότι η διέρχεται από το
β. Αν να υπολογιστεί το εμβαδόν του (συναρτήσει των )
γ. Να βρεθεί ο λόγος ώστε η να διχοτομεί την
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
sakis1963 έγραψε:Ασκηση 219 Σε ορθογώνιο γράφουμε το ημικύκλιο με διάμετρο (που τέμνει την ) και έστω το μέσον του τόξου .
H τέμνει την στο και η τέμνει το ημικύκλιο στο .
α. Να αποδειχθεί ότι η διέρχεται από το
β. Αν να υπολογιστεί το εμβαδόν του (συναρτήσει των )
γ. Να βρεθεί ο λόγος ώστε η να διχοτομεί την
Για τα δύο πρώτα.
1. Επειδή , αρκεί να δείξουμε ότι .
Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο ενώ λόγω της παραλληλίας των είναι και άρα το ζητούμενο ισχύει.
2. Επειδή το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου θα είναι και έστω το ύψος του τριγώνου αυτού από το .
Θέτουμε . προφανές ότι , οπότε
από το εγγράψιμο τετράπλευρο θα έχουμε : απ’ όπου προκύπτει . το τρίγωνο έτσι θα έχει εμβαδόν,
.
Για το τρίτο : Απλώς να πω ότι από το θεώρημα της προφανείας !! ( άλλοι καθιέρωσαν το όρο αυτό ) ο ζητούμενος λόγος είναι
Πράγματι, έστω το μέσο του . Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο έχουμε :
και άρα οπότε:
Φιλικά Νίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 220
Στο ορθογώνιο δίνονται τα μήκη των τμημάτων που φαίνονται στο σχήμα. Να βρεθεί ο λόγος .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 221
Πάνω στη διάμετρο ενός ημυκυκλίου , παίρνουμε τυχαίο σημείο και
σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους . Δείξτε ότι το τετράπλευρο
με κορυφές το και τα μέσα των τριών ημικυκλίων είναι ορθογώνιο .
Δείξτε επίσης ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται απο το κέντρο .
σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους . Δείξτε ότι το τετράπλευρο
με κορυφές το και τα μέσα των τριών ημικυκλίων είναι ορθογώνιο .
Δείξτε επίσης ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται απο το κέντρο .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα Θανάση.KARKAR έγραψε:Άσκηση 221 Πάνω στη διάμετρο ενός ημυκυκλίου , παίρνουμε τυχαίο σημείο και
σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους . Δείξτε ότι το τετράπλευρο
με κορυφές το και τα μέσα των τριών ημικυκλίων είναι ορθογώνιο .
Δείξτε επίσης ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται απο το κέντρο .
Αν είναι το μέσο του μεγάλου ημικυκλίου, είναι προφανές ότι οι διέρχονται από τα μέσα των μικρότερων ημικυκλίων, άρα το είναι ορθογώνιο και ο περίκυκλός του έχει διάμετρο οπότε διέρχεται από το .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα!
Παρόμοια με τον Γιώργο, αλλά αφού την έκανα...
Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ορθογώνια, άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, άρα , αντίστοιχα και τα σημεία συνευθειακά και , οπότε το τετράπλευρο ορθογώνιο εγγράψιμο σε κύκλο με διαμέτρους . Επειδή , το σημείο βρίσκεται πάνω σε αυτόν τον κύκλο.
Παρόμοια με τον Γιώργο, αλλά αφού την έκανα...
Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ορθογώνια, άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, άρα , αντίστοιχα και τα σημεία συνευθειακά και , οπότε το τετράπλευρο ορθογώνιο εγγράψιμο σε κύκλο με διαμέτρους . Επειδή , το σημείο βρίσκεται πάνω σε αυτόν τον κύκλο.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 222
Σχεδιάζω ορθογώνιο του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα
των πλευρών άλλου ορθογωνίου . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .
Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος , υπολογίστε το λόγο
των πλευρών άλλου ορθογωνίου . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .
Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος , υπολογίστε το λόγο
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Για το (A) ζητούμενο, στο σχήμα του Θανάση πιο πάνω.KARKAR έγραψε:Άσκηση 222
Σχεδιάζω ορθογώνιο του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα
των πλευρών άλλου ορθογωνίου . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .
Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος , υπολογίστε το λόγο
Έστω , τα μέσα των αντιστοίχως και έστω τα σημεία και και άρα, έχουμε
Από
Από
λόγω .
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
1.Με είναι φανερό ότι τα κίτρινα τρίγωνα είναι ίσα ,όπως και τα πράσινα κι ας είναι το εμβαδόν καθ ενός εξ αυτώνKARKAR έγραψε:Άσκηση 222 Σχεδιάζω ορθογώνιο του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα
των πλευρών άλλου ορθογωνίου . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .
Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος , υπολογίστε το λόγο
Τότε
2. Ας είναι
Ισχύει και .Άρα
Αλλά άρα
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 223
Στην πλευρά , ορθογωνίου , παίρνω σημείο , ώστε : .
Ονομάζω την προβολή του στην και την προβολή του στην .
Η πλευρά του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την ,
, η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα διατηρεί σταθερό μήκος .
β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του και για ποια τιμή του ,
ο λόγος ισούται με .
Ονομάζω την προβολή του στην και την προβολή του στην .
Η πλευρά του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την ,
, η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα διατηρεί σταθερό μήκος .
β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του και για ποια τιμή του ,
ο λόγος ισούται με .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
α) Είναι ισοσκελέςKARKAR έγραψε:Άσκηση 223 Στην πλευρά , ορθογωνίου , παίρνω σημείο , ώστε : .
Ονομάζω την προβολή του στην και την προβολή του στην .
Η πλευρά του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την ,
, η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα διατηρεί σταθερό μήκος .
β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του και για ποια τιμή του ,
ο λόγος ισούται με .
και επειδή
β) Είναι
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Δευ Μαρ 14, 2016 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλή Σαρακοστή σε όλους! α) Από το ισοσκελές το είναι μέσο του , άραKARKAR έγραψε:Άσκηση 223 Στην πλευρά , ορθογωνίου , παίρνω σημείο , ώστε : .
Ονομάζω την προβολή του στην και την προβολή του στην .
Η πλευρά του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την ,
, η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα διατηρεί σταθερό μήκος .
β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του και για ποια τιμή του ,
ο λόγος ισούται με .
β)
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 224
Ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείο κινείται
επί του ελάσσονος τόξου . Η τέμνει την στο .
α) Δείξτε ότι ο λόγος μεγιστοποιείται , όταν το γίνει το μέσο του τόξου .
β) Αν ο μέγιστος αυτός λόγος είναι , υπολογίστε το λόγο .
επί του ελάσσονος τόξου . Η τέμνει την στο .
α) Δείξτε ότι ο λόγος μεγιστοποιείται , όταν το γίνει το μέσο του τόξου .
β) Αν ο μέγιστος αυτός λόγος είναι , υπολογίστε το λόγο .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
β)
edit: Αναγραφή πράξεων και άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Σάβ Μαρ 19, 2016 8:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
α) Έστω μέσο του τόξου και μέσο της χορδής .KARKAR έγραψε:Άσκηση 224 Ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείο κινείται
επί του ελάσσονος τόξου . Η τέμνει την στο .
α) Δείξτε ότι ο λόγος μεγιστοποιείται , όταν το γίνει το μέσο του τόξου .
β) Αν ο μέγιστος αυτός λόγος είναι , υπολογίστε το λόγο .
Είναι , άρα η μέγιστη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν
β)
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 225 Υπολογίστε το λόγο , αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
KARKAR έγραψε:Άσκηση 225 Υπολογίστε το λόγο , αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες