Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Λάμπρος Μπαλός · #1

Θα βάζω εδώ , μέχρι την ώρα των Πανελλαδικών, ασκήσεις που θα απευθύνονται σε μαθητές που ετοιμάζονται για τις εξετάσεις τους. Μπορεί όποιος θέλει να προσθέτει ασκήσεις, καλό θα ήταν μόνο να μην ανεβάζουμε το επίπεδο τόσο που να γίνεται άπιαστο για τους μαθητές. Κάτι τέτοιο πιστεύω, μόνο κακό κάνει τέτοια περίοδο..

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση $f:[a,b] \rightarrow (0, + \infty)$ , συνεχής στο [a,b]

. Να αποδείξετε ότι για κάθε $x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,b]$ , υπάρχει

$x_{0} \in[a,b]$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})= \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$

papamixalis · #2

Καλησπέρα.
Πολύ ωραία πρωτοβουλία.

Η

είναι συνεχής και ορισμένη σε κλειστό διάστημα, άρα θα παίρνει μια μέγιστη τιμή

και μια ελάχιστη

άρα θα ισχύει
$m \leq f(x) \leq M$ για κάθε

που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Βάζοντας όπου

τις τιμές προκύπτει

$m^3 \leq f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3}) \leq M^3 \Leftrightarrow$
$m \leq \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})} \leq M$
όπου m,M >0

Άρα από Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει $x_{0}$
ώστε $f(x_{0})= \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$

EDIT: Αν η

είναι σταθερή, εύκολα φαίνεται πως ισχύει το ζητούμενο.
Νομίζω πως τώρα είναι ολοκληρωμένη η άσκηση.

Φιλικά
Μιχάλης

M.S.Vovos · #3

Ας συμπληρώσω και γω μια άσκηση, στην ωραία προσπάθεια του Λάμπρου!

ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η

είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $\mathbb{R}$ , τότε, να δείξετε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένα, $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f(\xi +1)=\frac{f(\xi )+f(2)}{2}$ .

papamixalis · #4

M.S.Vovos έγραψε:Ας συμπληρώσω και γω μια άσκηση, στην ωραία προσπάθεια του Λάμπρου!

ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $\mathbb{R}$ , τότε, να δείξετε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένα, $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f(\xi +1)=\frac{f(\xi )+f(2)}{2}$ .

Θεωρώ συνάρτηση g(x)=2f(x+1)-f(x)-f(2)

Παραγωγίσημη και συνεχής ως πράξη...
g(0)=f(1)-f(0)-(f(2)-f(1))

$1<2 \Leftrightarrow f(1)<f(2)$ αφού

γν. αύξουσα.
Άρα g(1)>0

Από Θ.Μ.Τ. στο [0,1]

και

υπάρχουν ξ1,ξ2 ώστε $f'(j_{1})=f(1)-f(0)$ και $f'(j_{2})=f(2)-f(1)$ Αφού η

είναι κυρτή, η

θα είναι γν. αύξουσα.
Άρα για $j_{1}<j_{2} \Leftrightarrow f'(j_{1})<f'(j_{2})$
Άρα g(1)<0

Από θεώρημα bolzano υπάρχει $x_{0}$ ώστε να ικανοποιείται το ζητούμενο.

Φιλικά
Μιχάλης

#5

papamixalis έγραψε:Καλησπέρα.

Άρα από Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει $x_{0}$
ώστε $f(x_{0})= \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$

Φιλικά
Μιχάλης

Προσοχή!!!

Δεν ισχύει πάντα το ΘΕΤ με αυτές τις προϋποθέσεις...

Λάμπρος Μπαλός · #6

ΑΣΚΗΣΗ 3

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow R$ , ώστε $f'(x)= \frac{lnx+1-f(x)}{x}$ , για κάθε x>0

και

.

Α) Να δείξετε ότι $f(x)=lnx+ \frac{e}{x}$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.

Β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της

και το σύνολο τιμών της.

Γ) Αν η εξίσωση x+2-f(k)=0

είναι αδύνατη στο $(0,+ \infty)$ , να δείξετε ότι k=e

.

Δ) Αν a,b,c>0

, με

, να δείξετε ότι $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{5}{e}$

Rempeskes · #7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow R$ , ώστε $f'(x)= \frac{lnx+1-f(x)}{x}$ , για κάθε και .

Α) Να δείξετε ότι $f(x)=lnx+ \frac{e}{x}$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.

Β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της.

Γ) Αν η εξίσωση είναι αδύνατη στο $(0,+ \infty)$ , να δείξετε ότι .

Δ) Αν , με , να δείξετε ότι $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{5}{e}$

Πολύ όμορφη άσκηση.

Φρέσκια και διδακτική!

KARKAR · #8

Άσκηση 4
α) Δείξτε ότι αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σ' ένα διάστημα $\Delta$ , τότε για κάθε $a,b \in \Delta$ , ισχύει :

$f(\dfrac{a+b}{2})\leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ . ( Η ανισότητα αυτή σας είναι γνωστή , απαιτείται όμως απόδειξη ) .

β) Εξετάστε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση f(x)=xlnx

.

γ) Συγκρίνατε τους αριθμούς : $(a+b)^{a+b}$ και $(2a)^a\cdot(2b)^b$ , 0<a<b

papamixalis · #9

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow R$ , ώστε $f'(x)= \frac{lnx+1-f(x)}{x}$ , για κάθε και .

Α) Να δείξετε ότι $f(x)=lnx+ \frac{e}{x}$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.

Β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της.

Γ) Αν η εξίσωση είναι αδύνατη στο $(0,+ \infty)$ , να δείξετε ότι .

Δ) Αν , με , να δείξετε ότι $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{5}{e}$

Καλησπέρα

a) $xf'(x)+f(x)=lnx+1 \leftrightarrow (xf(x))'=(xlnx)' \Leftrightarrow xf(x)=xlnx+c \Leftrightarrow f(x)=lnx+\dfrac{e}{x}, x>0$
b) Το όριο της

στο 0 από τα δεξιά είναι + άπειρο άρα η x=0

κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Το όριο της $\dfrac{f(x)}{x}$ στο + άπειρο κάνει

, αλλά το όριο της

στο + άπειρο κάνει + άπειρο.Άρα η

δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη.

c)Για k=e

ισχύει.
Έστω $k>e \Leftrightarrow f(k)>2 \leftrightarrow 2-f(k)<0$ και x>0

άρα δεν είναι αδύνατη για κάθε χ.
Ομοίως για k<e

d)Πολ/ζω με

και προσθέτω τα lna+lnb+lnc

.
Στο αριστερό μέλος έχω f(a)+f(b)+f(c)>6

που ισχύει αφού το

είναι το ελάχιστο της

και η ισότητα ισχύει μόνο για a=b=c=e

που δεν ισχύει.

Φιλικά
Μιχάλης

Rempeskes · #10

Εφόσον επί της ουσίας απαντήθηκε, ας προσθέσω άλλη μια αντιμετώπιση για τα γ) και δ) της Άσκησης 3 που μου άρεσαν.

Γ)

$\displaystyle f(k)=x+2$ $\color{red}{ (\ast) }$

Ισχύει ότι $\displaystyle x+2 \in \left( 2,+\infty\right)$ και $\displaystyle f(k) \in \left[2,+\infty \right)$

Άρα η $\color{red}{ (\ast) }$ αδύνατη $\displaystyle \Leftrightarrow f(k)=2 \Leftrightarrow k=e$ διότι για $\displaystyle k\neq e \Rightarrow f(k)>2$

Δ)

$\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)=lna+\frac{e}{a}+lnb+\frac{e}{b}+lnc+\frac{e}{c}=ln(abc)+e\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c)=1+e\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$

Αλλά, $\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)>6 \Rightarrow \boxed{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{5}{e}}$

M.S.Vovos · #11

ΆΣΚΗΣΗ 5

Έστω η παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση

, με

και η συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση

, με $g(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αν ισχύει g(x)f'(x)=g(f(x))

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , να δείξετε ότι f(x)=x

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

papamixalis · #12

KARKAR έγραψε:Άσκηση 4
α) Δείξτε ότι αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σ' ένα διάστημα $\Delta$ , τότε για κάθε $a,b \in \Delta$ , ισχύει :

$f(\dfrac{a+b}{2})\leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ . ( Η ανισότητα αυτή σας είναι γνωστή , απαιτείται όμως απόδειξη ) .

β) Εξετάστε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση .

γ) Συγκρίνατε τους αριθμούς : $(a+b)^{a+b}$ και $(2a)^a\cdot(2b)^b$ ,

Καλημέρα.
Μια γρήγορη αντιμετώπιση.
Για το α) κάνουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $[a,\dfrac{a+b}{2}]$ και $[\dfrac{a+b}{2},b]$
Μετά εκμεταλευόμαστε την μονοτονία της παραγώγου αφού η

είναι κυρτή.

b) f'(x)=lnx+1

$f''(x)=\dfrac{1}{x}>0$ άρα η

είναι κυρτή.

c) Έστω ο πρώτος όρος μικρότερος από τον δεύτερο.
Λογιαριθμίζω και προκύπτει:

$(a+b)ln(a+b) < \dfrac{2aln(2a)+2bln2b}{2}$

Αριστερά έχουμε το $f(\dfrac{a+b}{2})$ και δεξιά το $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$

Φιλικά
Μιχάλης

Λάμπρος Μπαλός · #13

ΑΣΚΗΣΗ 6

Η συνάρτηση $f: R^{*} \rightarrow R$ είναι συνεχής στα $(- \infty,0)$ και $(0, + \infty)$ και ισχύουν :

$x^{2}f(x)f(f(f(x)))=1$ , $\forall x \neq 0$ (1) και f(1)f(-1)=-1

Α) Να δείξετε ότι η

διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα $(0, + \infty)$ και $(- \infty, 0)$

Β) Να δείξετε ότι η

είναι

στο πεδίο ορισμού της .

Γ) Να λυθεί στο $R^{*}$ η εξίσωση $x^{2}f(x^{2})=f(x)$

Δ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει το $lim_{x \rightarrow 0} f(x)$

Ε) Αν η f(f(f(x)))

είναι περιττή στο $R^{*}$ , να δείξετε ότι $\int_{-1}^{-2} f(x)dx = \int_{1}^{2} f(x) dx$

M.S.Vovos · #14

ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με , για την οποία ισχύει $\displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}$ , για κάθε .

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .

B. Να δείξετε ότι για κάθε $0<\alpha <\beta$ ισχύει $\displaystyle \alpha <\frac{1}{e}\cdot \left ( \frac{\beta ^{\beta }}{\alpha ^{\alpha }} \right )^{\frac{1}{\beta -\alpha }}<\beta$ .

Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, $\xi \in (0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle f(\xi )\left ( 1+\pi \xi \sigma \upsilon \nu (\pi \xi ) \right )=-\xi$ .

Δ. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\vartheta \geq 1$ ώστε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ και τις ευθείες $x=\vartheta$ και $x=\vartheta ^{2}$ , να γίνεται ελάχιστο.

Φιλκά,
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #15

ΑΣΚΗΣΗ 8 (Γ Θέμα της Ο.Ε.Φ.Ε 2011)

Εστω μια συνεχής συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

f(sinx)+f(cosx)=1

, για κάθε $x \in R$ .

Γ1) Να αποδείξετε ότι :

i) $f( \frac{\sqrt{2}}{2})= \frac{1}{2}$ και f(0)+f(1)=1

ii) Υπάρχει $x_{0} \in [0,1]$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})+x_{0}=1$

Γ2) Εστω, επιπλέον ότι η

είναι παραγωγίσιμη και $f(x) \geq \sqrt{2}x- \frac{1}{2}$ , για κάθε $x \in R$

i) Να βρείτε το $f'(\frac{\sqrt{2}}{2})$ και να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο της με τετμημένη $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ii) Να υπολογίσετε το όριο $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(cosx)}{sinx}$

Christos.N · #16

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6

Η συνάρτηση $f: R^{*} \rightarrow R$ είναι συνεχής στα $(- \infty,0)$ και $(0, + \infty)$ και ισχύουν :

$x^{2}f(x)f(f(f(x)))=1$ , $\forall x \neq 0$ (1) και

Α) Να δείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα $(0, + \infty)$ και $(- \infty, 0)$

Β) Να δείξετε ότι η είναι στο πεδίο ορισμού της .

Γ) Να λυθεί στο $R^{*}$ η εξίσωση $x^{2}f(x^{2})=f(x)$

Δ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει το $lim_{x \rightarrow 0} f(x)$

Ε) Αν η είναι περιττή στο $R^{*}$ , να δείξετε ότι $\int_{-1}^{-2} f(x)dx = \int_{1}^{2} f(x) dx$

A) $\displaystyle{x \in {R^*}:{x^2}f\left( x \right)f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = 1 \ne 0 \Rightarrow f\left( x \right) \ne 0}$

Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής άρα θα διατηρεί το πρόσημο της σε καθ'ένα απο τα διαστήματα που ορίζεται . Επιπλέον δίνεται ότι $\displaystyle{f\left( 1 \right)f\left( { - 1} \right) = - 1}$ που σημαίνει ότι στα υποδιαστήματα $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ του πεδίου ορισμού της όχι μόνο διατηρεί πρόσημο αλλά και είναι αυτό διαφορετικό.

Β) Γενικά: Έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {R^*}:f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)} \right) = f\left( {{x_2}} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\begin{array}{l} {x_1},{x_2} \in {R^*}:f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)} \right) = f\left( {{x_2}} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)} \right) \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{1}{{{x_1}^2}} = \frac{1}{{{x_2}^2}} \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Rightarrow {x_1} = {x_2} \end{array}}$

Η περίπτωση $\displaystyle{{x_1} = - {x_2}}$ απορρίπτεται καθώς από τα συμπεράσματα του ερωτήματος Α) $\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right)f\left( {{x_2}} \right) < 0}$ και σε καμιά περίπτωση ίσα μεταξύ τους.

Άρα η συναρτηση είναι 1-1

Γ) $\displaystyle{x \in {R^*}:{x^2}f\left( x \right)f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = 1 \Rightarrow {x^4}f\left( {{x^2}} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)} \right) = 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{x^2}f\left( {{x^2}} \right)} \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)} \right) = 1}$

$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{{x^2}f\left( x \right) = f\left( x \right)} {x^2}f\left( x \right)f\left( {f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)} \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) \ne 0} f\left( {f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f:1 - 1} x = {x^2}\mathop \Rightarrow \limits^{x \ne 0} x = 1}$

Επαληθεύοντας βρίσκουμε τελικά ότι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x=1

Δ) Το όριο της συνάρτησης αν υπάρχει είναι είτε πεπερασμένο δηλαδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l \in R}$ είτε μη πεπερασμένο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \pm \infty }$

Θα δείξουμε σε κάθε περίπτωση ότι αυτή η υπόθεση είναι λανθασμένη με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο.

Έστω $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l \in R}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l \in R \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) \in R}$ καθώς η

είναι συνεχής και ορίζεται η σύνθεση της για κάθε τιμή του πεδίου ορισμού της.

άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) \in R \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}} \in R}$ άτοπο.

Αν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{_ - }}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty }$ άρα $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$ σε μια περιοχή εκατέρωθεν του μηδενός, άτοπο.

Ομοίως αν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = - \infty }$

Ε) Απο τον ορισμό της περιττής συνάρτησης:

$\displaystyle{x \in {R^*}:f\left( {f\left( {f\left( { - x} \right)} \right)} \right) = - f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( { - x} \right)}^2}f\left( { - x} \right)}} = - \frac{1}{{{x^2}f\left( x \right)}} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)}$

άρα και

περιττή συνάρτηση

$\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^{ - 2} {f\left( x \right)} \,dx\mathop = \limits^{u = - x} \int\limits_1^2 { - f\left( { - u} \right)} \,du = \int\limits_1^2 {f\left( u \right)} \,du = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx}$

apotin · #17

papamixalis έγραψε:Καλησπέρα.
Πολύ ωραία πρωτοβουλία.

Η είναι συνεχής και ορισμένη σε κλειστό διάστημα, άρα θα παίρνει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη
άρα θα ισχύει
$m \leq f(x) \leq M$ για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Βάζοντας όπου τις τιμές προκύπτει

$m^3 \leq f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3}) \leq M^3 \Leftrightarrow$
$m \leq \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})} \leq M$ (1)

όπου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άρα από Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει $x_{0}$
ώστε $f(x_{0})= \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$
EDIT: Αν η είναι σταθερή, εύκολα φαίνεται πως ισχύει το ζητούμενο.
Νομίζω πως τώρα είναι ολοκληρωμένη η άσκηση.

Φιλικά
Μιχάλης

Ένας άλλος τρόπος:
Από την $\displaystyle{(1)}$ προκύπτει ότι ο αριθμός $\sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$ ανήκει στο σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ , οπότε υπάρχει $x_{0} \in[a,b]$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})= \sqrt[3]{f(x_{1})f(x_{2})f(x_{3})}$

Christos.N · #18

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8 (Γ Θέμα της Ο.Ε.Φ.Ε 2011)

Εστω μια συνεχής συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

, για κάθε $x \in R$ .

Γ1) Να αποδείξετε ότι :

i) $f( \frac{\sqrt{2}}{2})= \frac{1}{2}$ και

ii) Υπάρχει $x_{0} \in [0,1]$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})+x_{0}=1$

Γ2) Εστω, επιπλέον ότι η είναι παραγωγίσιμη και $f(x) \geq \sqrt{2}x- \frac{1}{2}$ , για κάθε $x \in R$

i) Να βρείτε το $f'(\frac{\sqrt{2}}{2})$ και να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο της με τετμημένη $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ii) Να υπολογίσετε το όριο $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(cosx)}{sinx}$

Γ1)

i. $\displaystyle{f\left( {\sin x} \right) + f\left( {\cos x} \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{x = \frac{\pi }{4}} f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{1}{2}}$

$\displaystyle{f\left( {\sin x} \right) + f\left( {\cos x} \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{x = 0} f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = 1}$

ii. Θεωρούμε $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) + x - 1,x \in \left[ {0,1} \right]}$ η οποία είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Επειδή $\displaystyle{g\left( 0 \right)g\left( 1 \right) = \left( {f\left( 0 \right) - 1} \right)\left( {f\left( 1 \right)} \right)\mathop = \limits^{f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = 1} - f{\left( 1 \right)^2} \le 0}$ διακρίνουμε περιπτώσεις:

αν $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right)g\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow }$ $\displaystyle{g\left( 0 \right) = 0\,}$ ή $\displaystyle{g\left( 1 \right) = 0\,}$

αν $\displaystyle{f\left( 1 \right) \ne 0 \Rightarrow g\left( 0 \right)g\left( 1 \right) < 0}$ ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,1} \right):g\left( {{x_0}} \right) = 0 \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) + {x_0} = 1}$

Από τα παραπάνω γενικεύοντας έχουμε ότι $\displaystyle{{x_0} \in \left[ {0,1} \right]:g\left( {{x_0}} \right) = 0 \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) + {x_0} = 1}$

Γ2.

i. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι $\displaystyle{f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}}$ , άρα για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - \sqrt 2 x + \frac{1}{2},x \in R}$ γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{h\left( x \right) \ge 0 = h'\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}$ . Συνεπώς σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της παρουσιάζει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) σύμφωνα με το θεώρημα Fermat $\displaystyle{f'\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 }$

Για την εξίσωση της εφαπτομένης : $\displaystyle{y - f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = f'\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \Rightarrow y - \frac{1}{2} = \sqrt 2 \left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \Rightarrow y = \sqrt 2 x - \frac{1}{2}}$

ii.

$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {\cos x} \right)}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x\,\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {\cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x\,\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {\cos x} \right)}}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}\,\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {\cos x} \right)}}{{1 - \cos x}}\mathop = \limits^* 0f'\left( 1 \right) = 0\\ \left. \begin{array}{r} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {\cos x} \right)}}{{1 - \cos x}}\mathop = \limits^{\cos x = u} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( u \right)}}{{1 - u}} = f'\left( 1 \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}\, = \frac{0}{2} = 0 \end{array} \right\}\left( * \right) \end{array}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Rempeskes · #19

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Γ2) Εστω, επιπλέον ότι η είναι παραγωγίσιμη και $f(x) \geq \sqrt{2}x- \frac{1}{2}$ , για κάθε $x \in R$

i) Να βρείτε το $f'(\frac{\sqrt{2}}{2})$ και να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο της με τετμημένη $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Άλλος ένας τρόπος για κάποιον που δεν θα σκεφτεί τον μακαρίτη τον Fermat...

Ισχύει ότι,

$\displaystyle f(x)\geq \sqrt{2}x-\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)-f\left(\frac{\sqrt{2} }{2}} \right)\geq \sqrt{2}x-1$

και

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ οπότε,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}^{+}}\left(\frac{f(x)-\left f(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{x-\frac{\sqrt{2}}{2} } \right)=\lim_{x\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}^{-}}\left(\frac{f(x)-\left f(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{x-\frac{\sqrt{2}}{2} } \right)$

Οπότε,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}^{+}}\left(\frac{f(x)-\left f(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{x-\frac{\sqrt{2}}{2} } \right)\geq \lim_{x\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}^{+}}\left(\frac{\sqrt{2}x-1}{x-\frac{\sqrt{2}}{2}} \right) \Rightarrow f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\geq \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \color{red}{\ast }$ )

Ομοίως για $\displaystyle x\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}^{-}$ , $\displaystyle f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\leq \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \color{green}{\ast}$ )

Από ( $\displaystyle \color{green}{\ast}$ ),( $\displaystyle \color{red}{\ast }$ ) έχουμε ότι $\boxed{\displaystyle f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)= \sqrt{2}}$

Υ.Γ.: Προτείνω σε αυτόν τον φάκελο, επειδή δημιουργήθηκε (σύμφωνα και με τον τίτλο του θεματοθέτη) αποκλειστικά για τους μαθητές της Γ' Λυκείου, να μπαίνει μια ημερομηνία για την λύση του εκάστοτε θέματος, και αν δεν λυθεί μέχρι αυτήν την ημερομηνία (είτε αν θέλουμε να προσθέσουμε κάτι σε μια ήδη λυμένη) να παρεμβαίνουμε οι υπόλοιποι.

papamixalis · #20

M.S.Vovos έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με , για την οποία ισχύει $\displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}$ , για κάθε .

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .

B. Να δείξετε ότι για κάθε $0<\alpha <\beta$ ισχύει $\displaystyle \alpha <\frac{1}{e}\cdot \left ( \frac{\beta ^{\beta }}{\alpha ^{\alpha }} \right )^{\frac{1}{\beta -\alpha }}<\beta$ .

Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, $\xi \in (0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle f(\xi )\left ( 1+\pi \xi \sigma \upsilon \nu (\pi \xi ) \right )=-\xi$ .

Δ. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\vartheta \geq 1$ ώστε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ και τις ευθείες $x=\vartheta$ και $x=\vartheta ^{2}$ , να γίνεται ελάχιστο.

Φιλκά,
Μάριος

Καλησπέρα σε όλους.
Μια αντιμετώπιση για τα 3 πρώτα ερωτήματα.
Το δ) λογικά θα λύνεται με ολοκληρώματα που δεν έχω κάνει ακόμα, οπότε το αφήνω προς το παρόν (αν θέλει κάποιος ας το λύσει για την πληρότητα της άσκησης).

α) $xf'(x)-f(x)=e^{\dfrac{f(x)}{x}}$

Διαιρώ με το εκθετικό και με το x^2

$(e^{\dfrac{-f(x)}{x}})'=(\dfrac{1}{x})'$

Προκύπτει ότι c=0

άρα

για

β) Πολλαπλασιάζω με το

και έπειτα λογαριθμίζω.

από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $x_{0}$ ώστε $f'(x_{0})$ να μας δίνει αυτό που υπάρχει ενδιάμεσα.

$a<x_{0}<b$ και

γν άυξουσα.

f'(a)<f'(x)<f'(b)

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

γ)Θεωρώ συνάρτηση $g(x)=lnx(1+ \pi xcos(\pi x))+1$

Το όριο στο 0 από τα δεξιά δίνει - άπειρο άρα υπάρχει κ ώστε g(k)<0

Από Bolzano υπάρχει $\xi$ ώστε

$ln\xi(1+ \pi\xi cos(\pi\xi))=-1 \Leftrightarrow \xi ln\xi(1+ \pi\xi cos(\pi\xi))=-\xi$

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.
Καλό βράδυ,
Φιλικά
Μιχάλης

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση