ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

#1

...Καλησπέρα

με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x,\,\,x>0$ και $g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R$ .

Α. Να βρεθεί το σημείο $B(\beta ,\,\,g(\beta ))$ της γραφικής παράστασης της

που απέχει από το σημείο $A(1,\,\,f(1)))$ απόσταση $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία A,B

αντίστοιχα των ${{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}}$ είναι παράλληλες και ότι ${{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0$

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει ${{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Rempeskes · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα με μιά αποψινή δημιουργία...

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x,\,\,x>0$ και $g(x)={{x}^{2}},\,\,x\in R$ .

Α. Να βρεθεί το σημείο $B(\beta ,\,\,g(\beta ))$ της γραφικής παράστασης της που απέχει από το σημείο $A(1,\,\,f(1)))$ απόσταση $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία αντίστοιχα των ${{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}}$ είναι παράλληλες και ότι ${{x}^{2}}>\ln x,\,\,\,x>0$

Γ. Να δειχθεί ότι ισχύει ${{e}^{{{x}^{2}}}}+x\ln x>{{x}^{3}}+x,\,\,\,x>0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

A)
$d(A,B)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{(b-1)^2 + b^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow b^2-b+\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left(b-\frac{1}{2} \right)^2 =0\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$

B)

$f'(1)=g'\left(\frac{1}{2} \right)=1$

και $x^2 +1>x \Rightarrow {e}^{x^2}>x\Rightarrow ln{e}^{x^2}>lnx \Rightarrow x^2>lnx$

Γ)

Έστω $h(x)= {e}^{x}$

Τότε h''(x)=e^x >0

άρα

Γνησίως αύξουσα ( και

κυρτή).

Η

πληροί τις προυποθέσεις για το $\Theta M T$ στο $\left[lnx,x^2 \right]$

Oπότε $\exists$ $\xi \in \left(lnx,x^2 \right): h'(\xi )=\frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx}$

Συνεπώς για $\xi >lnx \Rightarrow h'(\xi )>h'(lnx)\Rightarrow \frac{{e}^{x^2} -{e}^{lnx}}{x^2 -lnx} >x$

$\Leftrightarrow {e}^{x^2} -x>x^3 -x\cdot lnx$ $\Leftrightarrow {e}^{x^2}+x\cdot lnx>x^3 +x$

ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ-ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση