Χρυσή τομή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2827
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Χρυσή τομή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Σεπ 12, 2015 3:15 pm

Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9220
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χρυσή τομή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 12, 2015 6:15 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;
Καλησπέρα.

Όπως διατυπώνεται το πρόβλημα της Χρυσής Τομής, δηλαδή να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB σε δύο μέρη ώστε το μεγαλύτερο να είναι μέσο ανάλογο του AB και του μικρότερου, προκύπτει ότι το \Gamma πρέπει να είναι εσωτερικό σημείο.


ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Χρυσή τομή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Πέμ Οκτ 01, 2015 10:52 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;
Στο βιβλίο “Επίπεδη Γεωμετρία Οικονομικού Κύκλου”, των Τάσσου Καλοπίση και Γιώργου Τασσόπουλου (έκδοση 1977) συνάντησα την έκφραση: “Διαίρεση ευθ. τμήματος (εσωτερικά ή εξωτερικά) σε μέσο και άκρο λόγο”, που είναι ανάλογη της έκφρασης: “Διαίρεση τμήματος (εσωτερικά ή εξωτερικά) σε συγκεκριμένο λόγο \displaystyle{\frac{\mu }{\nu }\ne 1}” (Αρμονική τετράδα), η οποία χρησιμοποιείται σε όλες τις Γεωμετρίες. Προφανώς αν δεν υπάρχει η διάκριση (εσωτερικά ή εξωτερικά) εννοείται και στις δύο περιπτώσεις το εσωτερικό σημείο.
Συγκεκριμένα στις σελίδες \displaystyle{252-253} του εν λόγω βιβλίου αναφέρεται: Να διαιρεθεί (εσωτερικά) δοσμένο ευθ. τμήμα \displaystyle{AB=\alpha }, σε δύο τμήματα \displaystyle{\Gamma A,\,\,\Gamma B}, ώστε \displaystyle{\Gamma {{A}^{2}}=AB\cdot \Gamma B} (πρόβλημα χρυσής τομής).
Αν \displaystyle{A\Gamma =x}, τότε \displaystyle{\Gamma B=\alpha -x} οπότε: \displaystyle{\Gamma {{A}^{2}}=AB\cdot \Gamma B\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\left( \alpha -x \right)\alpha \Leftrightarrow x\left( x+\alpha  \right)={{\alpha }^{2}}\,\,\,\left( 1 \right)}. Αν θέσουμε \displaystyle{x+\alpha =y} έχουμε να κατασκευάσουμε δύο τμήματα \displaystyle{x,\,\,y} με \displaystyle{y-x=\alpha }, \displaystyle{xy={{\alpha }^{2}}} (προηγούμενη κατασκευή). Το \displaystyle{x} δίνεται από τον τύπο \displaystyle{x=\frac{\alpha }{2}\left( \sqrt{5}-1 \right)}, θετική ρίζα της εξίσωσης \left( 1 \right).
Σημείωση
Υπάρχει και σημείο \displaystyle{{{\Gamma }_{1}}} που χωρίζει εξωτερικά το ευθ. τμήμα \displaystyle{AB} σε μέσο και άκρο λόγο και ορίζεται ως τομή της περιφέρειας \displaystyle{\left( A,\,\,AE \right)} με την προέκταση της ημιευθείας \displaystyle{\left( A,\,\,AB \right)}. Τότε \displaystyle{x=\frac{\alpha }{2}\left( \sqrt{5}+1 \right)}.
ΣΧΗΜΑ 1.PNG
ΣΧΗΜΑ 1.PNG (26.14 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες