Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ανοίγω αυτό το φάκελο για να δούμε ασκήσεις ανάλυσης (απειροστικού 1 και 2,και πραγματικής),κυρίως θεωρητικές και όχι υπολογισμοί ολοκληρωμάτων,σειρών κλπ επειδή τώρα τελευταία,δεν υπάρχουν πολλά πανεπιστημιακά τόπικς στο φόρουμ!Ας αρχίσουμε με 2 εύκολες:
Άσκηση 1
Έστω μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.
Άσκηση 2
Είναι σωστό ότι για κάθε άπειρο μετρικό χώρο υπάρχει άπειρο υποσύνολό του ώστε κάθε να είναι ανοιχτό ως προς τη σχετική μετρική στο ;
Άσκηση 1
Έστω μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.
Άσκηση 2
Είναι σωστό ότι για κάθε άπειρο μετρικό χώρο υπάρχει άπειρο υποσύνολό του ώστε κάθε να είναι ανοιχτό ως προς τη σχετική μετρική στο ;
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Δίνω μία απάντηση, χωρίς να 'μαι και τόσο σίγουρος.sokratis lyras έγραψε: Άσκηση 1
Έστω μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων.
Έστω το οποίο είναι κλειστό. Για κάθε ορίζουμε .
Οπότε το είναι ανοιχτό ως ένωση ανοιχτών σφαιρών.
Είναι προφανές ότι , άρα αρκεί να δείξω ότι .
Έστω ότι . Θα δείξω ότι .
Εφόσον το είναι κλειστό, τότε το είναι ανοιχτό άρα υπάρχει τέτοιο ώστε . Δηλαδή για όλα τα έχουμε ότι .
Συνεπώς για όλα τα .
Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Σε αυτό το σημείο υπάρχει μία ατέλεια:Tolaso J Kos έγραψε:
Εφόσον το είναι κλειστό, τότε το είναι ανοιχτό άρα υπάρχει τέτοιο ώστε .
<...>
Συνεπώς για όλα τα .
Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.
Δοθέντος του έδειξες ότι υπάρχει με . Αυτό που έχει σημασία είναι ότι το εξαρτάται από το . Οπότε δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός
για όλα τα . Το τελευταίο σημαίνει ότι για όλα τα μας κάνει το ίδιο . Όχι!
Η απόδειξη σε αυτό μπορεί να διορθωθεί.
Το αφήνω για την ώρα ώστε να έχεις την χαρά να το σκεφτείς.
Μ.
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ωραία ιδέα αυτό το θέμα. Να προσθέσω δύο προβλήματα.
Άσκηση 3
Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι
Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες και έτσι ώστε ενώ ?
Άσκηση 3
Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι
Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες και έτσι ώστε ενώ ?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Δηλαδή κάθε κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι -σύνολο και κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι -σύνολο.Άσκηση 1
Έστω μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.
Έστω κλειστό υποσύνολο του . Αν η συνάρτηση απόστασης από το σύνολο ,
για κάθε θεωρούμε το σύνολο .
Η συνάρτηση είναι (ομοιόμορφα) συνεχής, το σύνολο είναι ανοικτό στο ,
άρα το είναι ανοικτό υποσύνολο του .
Επειδή για κάθε , θα είναι .
Αν τότε για κάθε , δηλαδή για κάθε ,
άρα οπότε ,αφού το είναι κλειστό.
Επομένως, Τότε .
Αν είναι ανοικτό υποσύνολο του τότε το είναι κλειστό υποσύνολο του .
Είναι οπότε , όπου
κλειστό υποσύνολο του .
Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ναι είναι δυνατόν να συμβαίνει.Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες και έτσι ώστε ενώ ?
Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το μετρικό χώρο με και η ευκλείδεια μετρική.
Θεωρούμε τις μπάλες και
Είναι ενώ
Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Γίνεται. Για παράδειγμα ο Μετρικός Χώρος όπου οι αριθμοί λαμβάνονται (στην σωστή τους θέση) πάνω στον άξονα των πραγματικών.AlexandrosG έγραψε: Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες και έτσι ώστε ενώ ?
Για έχουμε
M.
Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Αν η δεν πήγαινε στο θα υπήρχε και γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε .Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.AlexandrosG έγραψε:
Άσκηση 3
Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι
Άρα .
Έστω .
Η συγκλίνει στο και από stolz τελειώσαμε.
Υ.Γ. Με επιφύλαξη!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
sokratis lyras έγραψε: Αν η δεν πήγαινε στο θα υπήρχε και γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε .Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.
Άρα .
<...>
Υ.Γ. Με επιφύλαξη!
Σωκράτη, προσοχή δεν είναι σωατό αυτό. Για παράδειγμα αν όποτε και αλλιώς τότε
αλλά
M.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Είναι αρκέτα δύσκολη.Η ιδέα είναι να γίνει άθροιση κατά μέρη.Βρίσκεται στο Problems in Mathematical Analysis I W.J.Kaczor M.T.Nowak.3.4.28
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Δεν έχω το βιβλίο των Kaczor, Nowak για να συγκρίνω αλλά το πιστεύω ότι είναι δύσκολη η άσκηση.
Από κάτω δίνω λύση με την επιπλέον υπόθεση γιατί από μόνη της είναι ενδιαφέρουσα και (μάλλον) απλούστερη από την γενική περίπτωση (που δεν είδα).
Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθία στοιχείων του με ως εξής.
Για το επαγωγικό βήμα, αφού έχουμε επιλέξει τον , επιλέγουμε τόσο μεγάλο ώστε να ισχύει
Είναι τότε
, όπως θέλαμε.
Έχουμε τώρα (εδώ μπαίνει η υπόθεση )
που σημαίνει ότι η αποκλίνει αφού δεν είναι Cauchy.
Από το άτοπο έπεται το ζητούμενο.
Φιλικά,
Μιχάλης
Από κάτω δίνω λύση με την επιπλέον υπόθεση γιατί από μόνη της είναι ενδιαφέρουσα και (μάλλον) απλούστερη από την γενική περίπτωση (που δεν είδα).
Έστω ότι . Άρα υπάρχει και άπειρο σύνολο δεικτών μεAlexandrosG έγραψε: Άσκηση 3
Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι
Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθία στοιχείων του με ως εξής.
Για το επαγωγικό βήμα, αφού έχουμε επιλέξει τον , επιλέγουμε τόσο μεγάλο ώστε να ισχύει
Είναι τότε
, όπως θέλαμε.
Έχουμε τώρα (εδώ μπαίνει η υπόθεση )
που σημαίνει ότι η αποκλίνει αφού δεν είναι Cauchy.
Από το άτοπο έπεται το ζητούμενο.
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).
Άσκηση 5
Έστω μη κενό και κλειστό υποσύνολο του και συνεχής συνάρτηση.Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής έτσι ώστε για κάθε .
Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?
Άσκηση 5
Έστω μη κενό και κλειστό υποσύνολο του και συνεχής συνάρτηση.Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής έτσι ώστε για κάθε .
Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Για την 5. Το συμπλήρωμα του F είναι ανοικτό. Αρα γραφέται σαν αριθμήσιμη ενωσή ξένων ανοικτών διαστήματων.
Τα ακρά των διαστήματων ανήκουν στο F. Σε καθένα από αυτά τα διαστήματά επεκτείνουμε την συναρτήση γραμμικά.
Το αποτέλεσμα ισχύει γενικά σε μετρικό χώρο. Σε τοπολόγικους χώρους ισχύει με προϋποθέσεις και εχει ονόμα H.Tietze.
Τα ακρά των διαστήματων ανήκουν στο F. Σε καθένα από αυτά τα διαστήματά επεκτείνουμε την συναρτήση γραμμικά.
Το αποτέλεσμα ισχύει γενικά σε μετρικό χώρο. Σε τοπολόγικους χώρους ισχύει με προϋποθέσεις και εχει ονόμα H.Tietze.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Άσκηση 6
Ένας μετρικός χώρος έχει την ιδιότητα:
"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.
Ένας μετρικός χώρος έχει την ιδιότητα:
"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.
Στράτης Αντωνέας
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Την υπόδειξη για την λύση που γνωρίζω την έχει δώσει ο Σταύρος. Η άθροιση κατά μέρη/κατά Abel είναι το ανάλογο της ολοκλήρωσης κατά μέρη για σειρές. Σαν μια έξτρα υπόδειξη, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τη δοθείσα σειρά να κάνουμε άθροιση κατά μέρη και το ζητούμενο όριο θα εμφανιστεί σαν ένας όρος. Πρόκειται για λήμμα του Kronecker.sokratis lyras έγραψε:Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).
Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Μέσω της ισοδυναμίας/ορισμού το σύνολο είναι ανοικτό αν και μόνο αν το σύνολο είναι κλειστό, συμπεραίνουμε ότι η ένωση οσωνδήποτε κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. Τα μονοσύνολα είναι κλειστά και συνεπώς οποιοδήποτε σύνολο είναι κλειστό. Ξανά από την ισοδυναμία οποιοδήποτε σύνολο είναι και ανοικτό. Να σημειώσω εδώ ότι τότε ο χώρος λέγεται διακριτός και μια μετρική που επάγει αυτήν την τοπολογία είναι η για ενώ για .stranton έγραψε:Άσκηση 6
Ένας μετρικός χώρος έχει την ιδιότητα:
"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Υπόδειξη για την 2.
Είναι σωστό.Θα πρέπει να κατασκεύασθει ακολουθία ξενών ανοικτών σφαίρων.
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.
α)Ο χώρος δεν εχεί σημεία συσσώρευσης.Τότε όλα τα σημεία είναι μεμονωμένα.
β)Ο χώρος εχεί τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.Τότε σε κάθε σφαίρα με κέντρο αύτο το σήμειο υπάρχουν απείρα σημεία του χώρου.
Κάνουμε επαγώγικη κατάσκευη των σφαίρων.
Είναι σωστό.Θα πρέπει να κατασκεύασθει ακολουθία ξενών ανοικτών σφαίρων.
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.
α)Ο χώρος δεν εχεί σημεία συσσώρευσης.Τότε όλα τα σημεία είναι μεμονωμένα.
β)Ο χώρος εχεί τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.Τότε σε κάθε σφαίρα με κέντρο αύτο το σήμειο υπάρχουν απείρα σημεία του χώρου.
Κάνουμε επαγώγικη κατάσκευη των σφαίρων.
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;
Κωνσταντίνος Γεωργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Όχι, δεν διατηρείται κατ' ανάγκη: Το είναι ομοιομορφικό με το μέσω της αλλά το μεν πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο (αφού δεν είναι καν φραγμένο).kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;
Μ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Άλλο αντιπαράδειγμα (στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα με το προηγούμενο, αλλά είναι ντυμένο αλλιώς):kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;
Εξετάζουμε το με την συνήθη μετρική και, κατόπιν, με την μετρική
.
To πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο. Ένας γρήγορος τρόπος να το διαπιστώσουμε είναι η παρατήρηση ότι ο δεύτερος είναι ομοιομορφικός με το μέσω της αλλά, φυσικά, το δεν είναι ολικά φραγμένο ως μη φραγμένο.
Φιλικά,
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Ιουν 25, 2015 11:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες