ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Συντονιστής: nsmavrogiannis
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Θα ήταν χρήσιμο να έχουμε μια σειρά ασκήσεων στην Συνδυαστική και τις Πιθανότητες( Κλασικός ορισμός, Δεσμευμένη, ανεξάρτητα ενδοχόμενα, δοκιμές Bernoulli), διότι από τη νέα χρονιά όλα αυτά μπορεί να είναι το μόνιμο θέμα στην καθημερινή μας επικοινωνία !
Στην προσπάθεια αυτή μπορούν να βοηθήσουν ιδιαίτερα οι φοιτητές του mathematica ,μια και στις σχολές τους διδάσκονται αυτό το μάθημα. Να προτιμήσουμε προβλήματα μέσης δυσκολίας που θα είναι κατάλληλα για την σχολική τάξη. Μπορούν να συμπεριληφθούν και προβλήματα να λάθος λύση, στα οποία θα ζητείται να εντοπιστεί το λάθος. Τέτοια θέματα έχουν μεγάλη αξία στο μάθημα, γιατί βοηθάνε το μαθητή να διεισδύσει στις έννοιες.
- Κάθε άσκηση θα έχει έναν αύξοντα αριθμό.
- Η λύση θα γίνεται με quote πάνω στην εκφώνηση, ώστε να βλέπουμε συνολικά άσκηση και λύση.
ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 15 άτομα, αλλά ο Κώστας με την Μαρία δεν πρέπει να κάθονται δίπλα -δίπλα.Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό ;
Μπάμπης
Στην προσπάθεια αυτή μπορούν να βοηθήσουν ιδιαίτερα οι φοιτητές του mathematica ,μια και στις σχολές τους διδάσκονται αυτό το μάθημα. Να προτιμήσουμε προβλήματα μέσης δυσκολίας που θα είναι κατάλληλα για την σχολική τάξη. Μπορούν να συμπεριληφθούν και προβλήματα να λάθος λύση, στα οποία θα ζητείται να εντοπιστεί το λάθος. Τέτοια θέματα έχουν μεγάλη αξία στο μάθημα, γιατί βοηθάνε το μαθητή να διεισδύσει στις έννοιες.
- Κάθε άσκηση θα έχει έναν αύξοντα αριθμό.
- Η λύση θα γίνεται με quote πάνω στην εκφώνηση, ώστε να βλέπουμε συνολικά άσκηση και λύση.
ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 15 άτομα, αλλά ο Κώστας με την Μαρία δεν πρέπει να κάθονται δίπλα -δίπλα.Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό ;
Μπάμπης
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Καλησπέρα κ. Στεργίου. Μια προσπάθεια, χωρίς όμως να είμαι σίγουρος.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Θα ήταν χρήσιμο να έχουμε μια σειρά ασκήσεων στην Συνδυαστική και τις Πιθανότητες( Κλασικός ορισμός, Δεσμευμένη, ανεξάρτητα ενδοχόμενα, δοκιμές Bernoulli), διότι από τη νέα χρονιά όλα αυτά μπορεί να είναι το μόνιμο θέμα στην καθημερινή μας επικοινωνία !
Στην προσπάθεια αυτή μπορούν να βοηθήσουν ιδιαίτερα οι φοιτητές του mathematica ,μια και στις σχολές τους διδάσκονται αυτό το μάθημα. Να προτιμήσουμε προβλήματα μέσης δυσκολίας που θα είναι κατάλληλα για την σχολική τάξη. Μπορούν να συμπεριληφθούν και προβλήματα να λάθος λύση, στα οποία θα ζητείται να εντοπιστεί το λάθος. Τέτοια θέματα έχουν μεγάλη αξία στο μάθημα, γιατί βοηθάνε το μαθητή να διεισδύσει στις έννοιες.
- Κάθε άσκηση θα έχει έναν αύξοντα αριθμό.
- Η λύση θα γίνεται με quote πάνω στην εκφώνηση, ώστε να βλέπουμε συνολικά άσκηση και λύση.
ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 15 άτομα, αλλά ο Κώστας με την Μαρία δεν πρέπει να κάθονται δίπλα -δίπλα.Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό ;
Μπάμπης
Είναι γνωστό πως όλα τα άτομα χωρίς περιορισμούς μπορούν να τοποθετηθούν με

Θεωρούμε τώρα την Μαρία με τον Κώστα ως ένα άτομο και άρα αυτό το άτομο και τα άλλα


άτομο αυτό να το πάρουμε δύο φορές(Κώστας - Μαρία, Μαρία - Κώστας) και άρα έχουμε

Έτσι, συνολικά έχουμε

τελευταία επεξεργασία από raf616 σε Κυρ Οκτ 26, 2014 5:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Ραφαήλ, η συνδυαστική είναι αρκετά δύσκολη, αν και ιδιαίτερα ελκυστική. Γύρω από ένα κυκλικό τραπέζι (οι θέσεις δεν θεωρούνται αριθμημένες), τα
άτομα μπορούν να καθήσουν κατά
τρόπους, διότι αν πχ καθήσουν όλοι και ο καθένας σπρώξει το διπλανό του μια θέση δεξιότερα, δεν θα αλλάξει τίποτα ως προς την μεταξύ τους θέση.Μπράβο που αυτό δεν σου ξέφυγε!
Έχω αντίρρηση με την άσκηση, διότι ένα αποτέλεσμα που έχω διαφέρει λίγο από την πρώτη μου λύση(αλλά διαφέρει !!!) , χωρίς να μπορώ να δω τι φταίει. Η απάντηση που έχω είναι


Έχω αντίρρηση με την άσκηση, διότι ένα αποτέλεσμα που έχω διαφέρει λίγο από την πρώτη μου λύση(αλλά διαφέρει !!!) , χωρίς να μπορώ να δω τι φταίει. Η απάντηση που έχω είναι

-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Επειδή αυτό το ...διπλό άτομο μπορεί να καθήσει κατά δύο τρόπους, μήπως πρέπει να αφαιρέσουμε δύο φορές τον αριθμόraf616 έγραψε:.................
Καλησπέρα κ. Στεργίου. Μια προσπάθεια, χωρίς όμως να είμαι σίγουρος.
Είναι γνωστό πως όλα τα άτομα χωρίς περιορισμούς μπορούν να τοποθετηθούν μετρόπους.
Θεωρούμε τώρα την Μαρία με τον Κώστα ως ένα άτομο και άρα αυτό το άτομο και τα άλλατα τοποθετούμε με
τρόπους.
Έτσι, συνολικά έχουμετρόπους.

Ραφαήλ

Μπ
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1539
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
ΑΣΚΗΣΗ 2
Έχουμε έξι εξαρτήματα μιας μηχανής εκ των οποίων δύο είναι ελαττωματικά. Αν αντικαταστήσουμε δύο κατά τύχη, να βρείτε :
α) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τα δύο ελαττωματικά .
β) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό .
Έχουμε έξι εξαρτήματα μιας μηχανής εκ των οποίων δύο είναι ελαττωματικά. Αν αντικαταστήσουμε δύο κατά τύχη, να βρείτε :
α) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τα δύο ελαττωματικά .
β) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό .
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 1324
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Διαγραφή λανθασμένης απάντησης
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Κυρ Οκτ 26, 2014 10:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1539
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Όλοι οι τρόποι με τους οποίους κάθονται ταΜπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 15 άτομα, αλλά ο Κώστας με την Μαρία δεν πρέπει να κάθονται δίπλα -δίπλα.Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό ;
Μπάμπης


Έστω ότι ο Κώστας και η Μαρία θα καθήσουν μαζί . Υπάρχουν αρχικά δύο τρόποι να γίνει αυτό : Σαν Κώστας - Μαρία ή σαν Μαρία- Κώστας . Κατόπιν τους αντιμετωπίζουμε σαν ένα άτομο που , μαζί με άλλους



Επομένως οι τρόποι με τους οποίους δεν κάθονται μαζί είναι

Kαλαθάκης Γιώργης
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Ευχαριστώ κ. Στεργίου για την παρατήρηση. Τώρα κατάλαβα ότι παίζει ρόλο η διάταξη. Το διόρθωσα.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Επειδή αυτό το ...διπλό άτομο μπορεί να καθήσει κατά δύο τρόπους, μήπως πρέπει να αφαιρέσουμε δύο φορές τον αριθμόraf616 έγραψε:.................
Καλησπέρα κ. Στεργίου. Μια προσπάθεια, χωρίς όμως να είμαι σίγουρος.
Είναι γνωστό πως όλα τα άτομα χωρίς περιορισμούς μπορούν να τοποθετηθούν μετρόπους.
Θεωρούμε τώρα την Μαρία με τον Κώστα ως ένα άτομο και άρα αυτό το άτομο και τα άλλατα τοποθετούμε με
τρόπους.
Έτσι, συνολικά έχουμετρόπους.
; Μάλλον αυτό πρέπει να συμβεί, ώστε να πάρουμε και το αποτέλεσμα που θέλουμε !
Ραφαήλ![]()
Μπ
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Γιώργο καλημέρα !exdx έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έχουμε έξι εξαρτήματα μιας μηχανής εκ των οποίων δύο είναι ελαττωματικά. Αν αντικαταστήσουμε δύο κατά τύχη, να βρείτε :
α) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τα δύο ελαττωματικά .
β) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό .
Με σκουριασμένο το μυαλό λόγω της αποχής από τέτοια προβλήματα , ας κάνω μια προσπάθεια κι ας είναι λάθος :
α) Τα δύο εξαρτήματα μπορούμε να τα επιλέξουμε κατά


β) Θα πάρουμε το αντίθετο ενδεχόμενο. Θα βρούμε λοιπόν την πιθανότητα να μην αντικαταστήσουμε κανένα ελατωματικό. Τα δύο καλά εξaρτήματα μπορούμε να τα πάρουμε κατά



Χρόνια πολλά !
(edit : συμπλήρωσα τα αποτελέσματα)
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Κυρ Οκτ 26, 2014 9:45 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
α) Η πιθανότητα να αντικαταστήσουμε, κατά τύχη, και τα δύο ελαττωματικά είναι σαν να ζητάμε την πιθανότητα σε ένα βάζο με έξιexdx έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έχουμε έξι εξαρτήματα μιας μηχανής εκ των οποίων δύο είναι ελαττωματικά. Αν αντικαταστήσουμε δύο κατά τύχη, να βρείτε :
α) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τα δύο ελαττωματικά .
β) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό .






β) Πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό +Πιθανότητα να μην αντικαταστήσουμε κανένα ελαττωματικό =

Η πιθανότητα να μην αντικαταστήσουμε κανένα ελαττωματικό είναι όση και η πιθανότητα να μην βγάλουμε καμία μαύρη μπίλια, δηλαδή να βγάλουμε δύο άσπρες μπίλιες, ήτοι

Άρα

-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
ΑΣΚΗΣΗ 3
Δύο φοιτητές γνωρίζουν ότι οικογένεια του φίλου τους του Δημήτρη έχει δύο παιδιά. Οι φοιτητές αυτοί θέλουν να βρούνε την πιθανότητα ο Δημήτρης να έχει αδερφό. Όσο όμως το σκέφτονται , τόσο δυσκολεύονται !
- Η πρώτη σκέψη είναι ότι στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος είναι :
, διότι ξέρουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον αγόρι στην οικογένεια. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι
.
- Η δεύτερη σκέψη είναι ότι κανονικά η πιθανότητα είναι
, διότι το φύλλο του δεύτερου παιδιού δεν εξαρτάται από το πρώτο (η πιθανότητα δεν έχει μνήμη !!!)
Πώς μπορούμε να βοηθήσουμε αυτούς τους δύο φοιτητές να επιλέξουν τη σωστή απάντηση ;
Μπάμπης
( Με παραίνεση του Θανάση, η πληροφορία ότι ο Δημήτρης είναι ο μεγαλύτερος έφυγε.Τον ευχαριστώ πολύ.)
Δύο φοιτητές γνωρίζουν ότι οικογένεια του φίλου τους του Δημήτρη έχει δύο παιδιά. Οι φοιτητές αυτοί θέλουν να βρούνε την πιθανότητα ο Δημήτρης να έχει αδερφό. Όσο όμως το σκέφτονται , τόσο δυσκολεύονται !
- Η πρώτη σκέψη είναι ότι στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος είναι :


- Η δεύτερη σκέψη είναι ότι κανονικά η πιθανότητα είναι

Πώς μπορούμε να βοηθήσουμε αυτούς τους δύο φοιτητές να επιλέξουν τη σωστή απάντηση ;
Μπάμπης
( Με παραίνεση του Θανάση, η πληροφορία ότι ο Δημήτρης είναι ο μεγαλύτερος έφυγε.Τον ευχαριστώ πολύ.)
- thanasis kopadis
- Δημοσιεύσεις: 149
- Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Χαιρετίζω την ιδέα του Μπάμπη και συνεχίζω με μια ακόμη άσκηση (εύκολη, αλλά διδακτική για επίπεδο Λυκείου)
ΑΣΚΗΣΗ 4
Μια τάξη έχει
αγόρια και
κορίτσια.
α) Με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει το πενταμελές συμβούλιο της τάξης;
β) Πόσοι από τους παραπάνω τρόπους έχουν:
i) ακριβώς
κορίτσια
ii) τουλάχιστον
κορίτσια
iii) το πολύ
κορίτσια
γ) Αν πάρουμε στην τύχη
μαθητές από την τάξη αυτή ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε ίδιο αριθμό αγοριών και κοριτσιών;
Παρατήρηση Αν από ένα πεπερασμένο σύνολο
ατόμων-αντικειμένων θέλουμε να πάρουμε
, τότε πρέπει να προσέξουμε τα εξής:
α) μας ενδιαφέρει να πάρουμε τα
στοιχεία συγχρόνως;
β) μας ενδιαφέρει να τα πάρουμε το ένα μετά το άλλο χωρίς επανατοποθέτηση;
γ) μας ενδιαφέρει να τα πάρουμε το ένα μετά το άλλο με επανατοποθέτηση;
ΑΣΚΗΣΗ 4
Μια τάξη έχει


α) Με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει το πενταμελές συμβούλιο της τάξης;
β) Πόσοι από τους παραπάνω τρόπους έχουν:
i) ακριβώς

ii) τουλάχιστον

iii) το πολύ

γ) Αν πάρουμε στην τύχη

Παρατήρηση Αν από ένα πεπερασμένο σύνολο


α) μας ενδιαφέρει να πάρουμε τα

β) μας ενδιαφέρει να τα πάρουμε το ένα μετά το άλλο χωρίς επανατοποθέτηση;
γ) μας ενδιαφέρει να τα πάρουμε το ένα μετά το άλλο με επανατοποθέτηση;
«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6157
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Πολύ ωραία ιδέα! Χαίρομαι ιδιαίτερα και ελπίζω πράγματι η συνδυαστική και οι πιθανότητες να περιληφθούν στη σχολική ύλη...
- Τα ενδεχόμενα
δεν είναι ισοπίθανα για να ισχυριστούμε ότι η πιθανότητα είναι
Συγκεκριμένα το ενδεχόμενο
πραγματοποιείται αν
ή
όπου
ο Δημήτρης.
Ο δειγματικός χώρος
αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα, επομένως η πιθανότητα είναι 
- Γνωρίζουμε ότι ο Δημήτρης έχει αδέλφι (sibling). Επειδή κάθε γέννηση είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες, η πιθανότητα είναι
- Ένας άλλος τρόπος να το δούμε είναι ο εξής: η πιθανότητα είναι
(πιθανότητα ο Δημήτρης να είναι ο μικρότερος)χ(πιθανότητα το αδέρφι να είναι αγόρι)+(πιθανότητα ο Δημήτρης να είναι ο μεγαλύτερος)χ(πιθανότητα το αδέρφι να είναι αγόρι)=1/2χ1/2+1/2χ1/2=1/2...
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3
Δύο φοιτητές γνωρίζουν ότι οικογένεια του φίλου τους του Δημήτρη έχει δύο παιδιά. Οι φοιτητές αυτοί θέλουν να βρούνε την πιθανότητα ο Δημήτρης να έχει αδερφό. Όσο όμως το σκέφτονται , τόσο δυσκολεύονται !
- Η πρώτη σκέψη είναι ότι στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος είναι :, διότι ξέρουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον αγόρι στην οικογένεια. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι
.
- Η δεύτερη σκέψη είναι ότι κανονικά η πιθανότητα είναι, διότι το φύλλο του δεύτερου παιδιού δεν εξαρτάται από το πρώτο (η πιθανότητα δεν έχει μνήμη !!!)
Πώς μπορούμε να βοηθήσουμε αυτούς τους δύο φοιτητές να επιλέξουν τη σωστή απάντηση ;
Μπάμπης
( Με παραίνεση του Θανάση, η πληροφορία ότι ο Δημήτρης είναι ο μεγαλύτερος έφυγε.Τον ευχαριστώ πολύ.)
- Τα ενδεχόμενα


Συγκεκριμένα το ενδεχόμενο




Ο δειγματικός χώρος


- Γνωρίζουμε ότι ο Δημήτρης έχει αδέλφι (sibling). Επειδή κάθε γέννηση είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες, η πιθανότητα είναι

- Ένας άλλος τρόπος να το δούμε είναι ο εξής: η πιθανότητα είναι
(πιθανότητα ο Δημήτρης να είναι ο μικρότερος)χ(πιθανότητα το αδέρφι να είναι αγόρι)+(πιθανότητα ο Δημήτρης να είναι ο μεγαλύτερος)χ(πιθανότητα το αδέρφι να είναι αγόρι)=1/2χ1/2+1/2χ1/2=1/2...
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6157
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
α) Έχουμε να επιλέξουμε 5 από τους 12+14=26 μαθητές και δε μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής. Επομένως, έχουμεthanasis kopadis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4
Μια τάξη έχειαγόρια και
κορίτσια.
α) Με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει το πενταμελές συμβούλιο της τάξης;
β) Πόσοι από τους παραπάνω τρόπους έχουν:
i) ακριβώςκορίτσια
ii) τουλάχιστονκορίτσια
iii) το πολύκορίτσια
γ) Αν πάρουμε στην τύχημαθητές από την τάξη αυτή ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε ίδιο αριθμό αγοριών και κοριτσιών;

β)
i) Έχουμε να επιλέξουμε 3 από τα 14 κορίτσια και 2 από τα 12 αγόρια.
Επομένως, έχουμε

ii) Έχουμε να επιλέξουμε 3 ή 4 ή 5 από τα 14 κορίτσια και αντίστοιχα 2,1 ή 0 από τα 12 αγόρια.
Επομένως, έχουμε

iii) Έχουμε να επιλέξουμε 0 ή 1 ή 2 ή 3 από τα 14 κορίτσια και αντίστοιχα 5, 4,3, ή 2 από τα 12 αγόρια.
Επομένως, έχουμε

γ) Μπορούμε να επιλέξουμε 6 μαθητές από την τάξη με


Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι

Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6157
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
ΑΣΚΗΣΗ 5
Πόσα ζάρια πρέπει να ρίξουμε ώστε η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς δύο εξάρια να είναι μέγιστη;
(Προσπαθήστε να αποφύγετε μεθόδους του διαφορικού λογισμού.)
ΑΣΚΗΣΗ 6
Σε ένα δοχείο βρίσκονται
κόκκινοι και
άσπροι βόλοι.
Έστω
η πιθανότητα να επιλέξουμε, με επανάθεση, δύο κόκκινους βόλους.
Έστω
η πιθανότητα να επιλέξουμε, χωρίς επανάθεση, τρεις κόκκινους βόλους.
Βρείτε το
αν
.
Πόσα ζάρια πρέπει να ρίξουμε ώστε η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς δύο εξάρια να είναι μέγιστη;
(Προσπαθήστε να αποφύγετε μεθόδους του διαφορικού λογισμού.)
ΑΣΚΗΣΗ 6
Σε ένα δοχείο βρίσκονται


Έστω

Έστω

Βρείτε το


τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Οκτ 26, 2014 7:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: $LaTeX$
Λόγος: $LaTeX$
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
socrates έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 6
Σε ένα δοχείο βρίσκονταικόκκινοι και
άσπροι βόλοι.
Έστωη πιθανότητα να επιλέξουμε, με επανάθεση, δύο κόκκινους βόλους.
Έστωη πιθανότητα να επιλέξουμε, χωρίς επανάθεση, τρεις κόκκινους βόλους.
Βρείτε τοαν
.








-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
ΑΣΚΗΣΗ 7
Να βρεθεί η πιθανότητα να μην έχουμε
μπροστά από το γράμμα
στους αναγραμματισμούς της λέξης
(Τουρκία - 2003).
*** Η απάντηση είναι
, αλλά στην εύρεση των ευνοϊκών περιπτώσεων βρίσκω δυσκολία.
Μπάμπης
Να βρεθεί η πιθανότητα να μην έχουμε



(Τουρκία - 2003).
*** Η απάντηση είναι

Μπάμπης
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Γειά σας! Μία παρατήρηση πάνω στην δεύτερη άσκηση.ealexiou έγραψε:α) Η πιθανότητα να αντικαταστήσουμε, κατά τύχη, και τα δύο ελαττωματικά είναι σαν να ζητάμε την πιθανότητα σε ένα βάζο με έξιexdx έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έχουμε έξι εξαρτήματα μιας μηχανής εκ των οποίων δύο είναι ελαττωματικά. Αν αντικαταστήσουμε δύο κατά τύχη, να βρείτε :
α) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τα δύο ελαττωματικά .
β) την πιθανότητα να αντικαταστήσαμε τουλάχιστον ένα ελαττωματικό .μπίλιες, δύο
μαύρες (
ελαττωματικά εξαρτήματα) και τέσσερις
λευκές (
γνήσια εξαρτήματα) να βγάλουμε και τις δύο μαύρες μπίλιες.
Διαβάζοντας την εκφώνηση, δεν μου είναι ξεκάθαρο εάν η αντικατάσταση των δύο "μαύρων μπιλιών" από τις αντίστοιχες άσπρες γίνεται ταυτόχρονα ή διαδοχικά.
Η παραπάνω απάντηση, νομίζω ότι αναφέρεται στην ταυτόχρονη αντικατάσταση (δηλαδή, πριν μπει στο βάζο η πρώτη "καλή" άσπρη, να επιλέξουμε από τις εναπομείναντες την δεύτερη "κακή" μαύρη και στη θέση τους να βάλουμε δύο άσπρες). Εάν όμως μετά την ολοκλήρωση της αντικατάστασης της πρώτης, ακολουθεί η δεύτερη, τότε νομίζω ότι η ζητούμενη πιθανότητα θα ήταν:

Καθώς, η δεύτερη επιλογή θα γίνει τώρα από


-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6157
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7
Να βρεθεί η πιθανότητα να μην έχουμεμπροστά από το γράμμα
στους αναγραμματισμούς της λέξης
![]()
(Τουρκία - 2003).
*** Η απάντηση είναι, αλλά στην εύρεση των ευνοϊκών περιπτώσεων βρίσκω δυσκολία.
Μπάμπης
Σύμφωνα με το σύνδεσμο,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p3490349
ψάχνουμε την πιθανότητα να μην υπάρχει



Για την πιθανότητα "να μην έχουμε




Θανάσης Κοντογεώργης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8565
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Για το πρόβλημα όπου το πρώτοsocrates έγραψε:Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7
Να βρεθεί η πιθανότητα να μην έχουμεμπροστά από το γράμμα
στους αναγραμματισμούς της λέξης
![]()
(Τουρκία - 2003).
*** Η απάντηση είναι, αλλά στην εύρεση των ευνοϊκών περιπτώσεων βρίσκω δυσκολία.
Μπάμπης
Σύμφωνα με το σύνδεσμο,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p3490349
ψάχνουμε την πιθανότητα να μην υπάρχειπριν το πρώτο
και είναι όντως
Για την πιθανότητα "να μην έχουμεμπροστά από το γράμμα
" (δηλ. να μην έχουμε συλλαβές
) βρίσκω












Για το πρόβλημα όπου απαγορεύεται η εμφάνιση του


Υπάρχουν

























Οπότε έχουμε


Άρα η πιθανότητα είναι

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση του αποτελέσματος αφού μέτρησα





Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες