Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

STOPJOHN · #1

Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^{0})$ και τυχαίο σημείο

στη πλευρά $B\Gamma$ . Φέρνουμε : $P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E$
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

#2

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^{0})$ και τυχαίο σημείο στη πλευρά $B\Gamma$ .
Φέρνουμε : $P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E$
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 1:

: Ευθεία από σταθερό σημείο 1.PNG (26.48 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Στο σχήμα αυτό εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι
$\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{P_1}\ \ (1)}$
διότι οι γωνίες αυτές έχουν τις πλευρές των αντίστοιχα κάθετες και είναι οξείες.

Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{PDE, PD'E'}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{D'_1}\ \ (2)}$
ως απέναντι ίσων πλευρών.

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle{\hat{P_1}=\hat{D'_1}\ \ (3)}$
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{PD'E'}$ το σημείοι $\displaystyle{M}$ είναι μέσον της υποτείνουσας
(Σύστημα Vecten στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{PDE}$ )

Προεκτείνοντας τη διάμεσο $\displaystyle{PM}$ κατά ίσο τμήμα τότε προκύπτει το τετράπλευρο $\displaystyle{PD'A'E'}$ το οποίο είναι ορθογώνιο
και συνεπώς η προέκταση της $\displaystyle{PZ}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A'}$ που είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου $\displaystyle{A}$ και
το οποίο ασφαλώς είναι σταθερό. (Σχήμα 2)

: Ευθεία από σταθερό σημείο 2.PNG (36.14 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Κώστας Δόρτσιος

STOPJOHN · #3

Καλημέρα ,ευχαριστώ το κ.Δόρτσιο για τη λύση του θέματος .Υπάρχει και λύση με Αναλυτική Γεωμετρία .

Γιάννης

#4

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^{0})$ και τυχαίο σημείο στη πλευρά $B\Gamma$ . Φέρνουμε : $P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E$
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

Γιάννη και Κώστα, Καλημέρα.

Έστω $\displaystyle{\Sigma }$ το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

της $B\Gamma$ . Το $\displaystyle{\Sigma }$ είναι προφανώς σταθερό. Αρκεί να δείξω ότι η

διέρχεται από αυτό το σημείο.

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm Z}\widehat {\rm P}\Sigma = {\widehat {\rm P}_1} + {\rm A}\widehat {\rm P}\Sigma = {\widehat {\rm P}_1} + {180^0} - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} + {90^0} - {\widehat {\rm H}_1} - 2{\widehat {\rm A}_1} = \\ {270^0} - ({180^0} - 2{\rm H}\widehat {\rm A}{\rm E}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {90^0} + 2({45^0} + {\widehat {\rm A}_1}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} \end{array}}$

Άρα τα σημεία $Z, P,\Sigma$ είναι συνευθειακά που αποδεικνύει το ζητούμενο.

: Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

STOPJOHN · #5

Καλημέρα Γιώργο ,ωραία λύση και αξιοποίηση της συμμετρίας στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Γιάννης

#6

Και η απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία:

Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι φανερό ότι η εξίσωση της $\displaystyle{BC}$ είναι $\displaystyle{x+y=1.}$ Τότε, είναι

$\displaystyle{E(p,0),~D(0,1-p).}$

Άρα $\displaystyle{\lambda _{DE}=\frac{p-1}{p}\implies \lambda _{PZ}=\frac{p}{1-p}}$ και τελικά βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{PZ:y=\frac{p}{1-p}x+\frac{1-2p}{1-p}.}$

Είναι φανερό ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο $\displaystyle{(1,1).}$

STOPJOHN · #7

Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο

κινείται στην ευθεία $B\Gamma$ και οχι στην πλευρά $B\Gamma$ με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης

#8

Μία άλλη σκέψη είναι η εξής :

$\bullet$ Θεωρούμε το τρίγωνο $\vartriangle ADE$ και το εκφυλισμένο σε ευθεία τρίγωνο $\vartriangle PBC$ και παρατηρούμε ότι οι εκ των κορυφών $A,\ D,\ E$ του $\vartriangle ADE$ κάθετες ευθείες επί των πλευρών $BC,\ PB,\ PC$ του $\vartriangle PBC$ αντιστοίχως, ως οι μεσοκάθετες ευθείες τους, τέμνονται στο ίδιο σημείο σε άπειρη απόσταση.

Άρα, τα ως άνω τρίγωνα είναι ορθολογικά και επομένως, οι εκ των κορυφών $P,\ B,\ C$ του $\vartriangle PBC$ κάθετες ευθείες επί των πλευρών $DE,\ AE,\ AD$ αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η μεταβλητή ευθεία $PZ\perp DE$ περνάει από το σταθερό σημείο έστω

των δια των $B,\ C$ παραλλήλων ευθειών προς τις $AC,\ AB$ αντιστοίχως, το οποίο ταυτίζεται με το σημμετρικό σημείο του

ως προς την ευθεία

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

STOPJOHN · #9

Kαλησπέρα κ. Βήττα και ευχαριστώ για αυτή την ωραία λύση που δεν είχα υπόψη μου.....
Ωστόσο να διευκρινίσω ότι η λύση με τα ορθολογικά τρίγωνα δεν θα προχωρήση όταν το τρίγωνο που δόθηκε είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές .....Ακόμη πήρα μια νέα ιδέα για την περίπτωση που το σημείο

είναι στην ευθεία $B\Gamma$ και όχι στην πλευρά $B\Gamma$ .

Γιάννης

#10

STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο κινείται στην ευθεία $B\Gamma$ και οχι στην πλευρά $B\Gamma$ με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης

Καλησπέρα σε όλους.

Η πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που το μεταβλητό σημείο κινείται εν γένει στην ευθεία της υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς τρίγωνου .

Αργότερα θα γράψω σχετικά και για τις δύο περιπτώσεις.

Όμως αν το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές έχω την άποψη ότι δεν ισχύει .

Φιλικά Νίκος

#11

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^{0})$ και τυχαίο σημείο στη πλευρά $B\Gamma$ . Φέρνουμε : $P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E$
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

Καλησπέρα σε όλους . Μετά τις τόσο ωραίες παρεμβάσεις που διάβασα μια ακόμη άποψη .

Πρώτα θα ζητήσω συγνώμη για το συμβολισμό με λατινικούς χαρακτήρες γιατί έχω πρόβλημα στο λογισμικό που χρησιμοποιώ με τα ελληνικά.

: Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

Έστω λοιπόν τυχαίο σημείο

στην ευθεία

διαφορετικό από τα B,C

φέρνουμε τις προβολές του D,E

στις ευθείες AB,AC

και αγνοούμε προσωρινά την προβολή του

στην

( δηλαδή το

) .

Γράφουμε τον κύκλο του ορθογωνίου AEPD

που τέμνει τον κύκλο $({C_1})$ του ABC

και στο

.

Ο κύκλος αυτό θα έχει κέντρο το

σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου AEPD

, ενώ ό $({C_1})$ έχει κέντρο το μέσον

του

.

Επειδή η γωνία $A\widehat OP = {90^0}$ και το σημείο

θα ανήκει στον κύκλο του ορθογωνίου AEPD

.

Προφανές ότι τα τρίγωνα $AOB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DPB$ είναι ισοσκελή ορθογώνια και έτσι $\widehat \theta = D\widehat PB = {45^0}$ με άμεση συνέπεια OE = OD

.

Τώρα όμως AT//ED

και έτσι η διάκεντρος

που είναι κάθετος στην κοινή χορδή

θα είναι κάθετος και στην

.

Επίσης η

που είναι κάθετη στην

( αφού η

διάμετρος) θα είναι κάθετη και στην

στο

που προφανώς θα ταυτίζεται με το

.

Έστω τώρα

το σταθερό αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο $({C_1})$ .

Επειδή $A\widehat TS = {90^0}$ τα σημεία A,T,S

ανήκουν στην ίδια ευθεία και συνεπώς η

δηλαδή η

διέρχεται από το

.

Στην περίπτωση που το

βρίσκεται ανάμεσα στα B,C

η απόδειξη είναι ή ιδια.

Φιλικά Νίκος

STOPJOHN · #12

Ευχαριστώ Νίκο για την εύστοχη παρέμβαση και τη λύση όταν το σημείο

κινείται στην ευθεία $B\Gamma$
Πιστεύω ότι η άσκηση δεν ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές ...θα το δω ....

φιλικά

Γιάννης

#13

Καλησπέρα σε όλους.

Πράγματι η συνθήκη είναι το τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθογώνιο. Η ευθεία διέρχεται πάντα από την τέταρτη κορυφή του ρόμβου με τρεις κορυφές τα $A, B, \Gamma$ .

: Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο-2.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 1117 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #14

Καλημέρα σε όλους. Μου άρεσε το παρόν θέμα.
Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το ABC

είναι (μόνο) ισοσκελές.

: Μεταβλητή ευθεία...PNG (12.62 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Το

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

και

η τομή των ED,CB

. Αρκεί η ευθεία A'PZ

να είναι κάθετη στην EDQ

.

Εύκολα βρίσκουμε όπως ΕΔΩ ότι $\widehat{EQC}=\widehat{PAM}=\widehat{PA'M}$ . Τότε $\widehat{OZA'}=\pi -\varphi -x=\widehat{OMQ}=90^{0}$

Φιλικά , Γιώργος.

thanasis.a · #15

STOPJOHN έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 24, 2014 9:35 pm
Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^{0})$ και τυχαίο σημείο στη πλευρά $B\Gamma$ . Φέρνουμε : $P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E$
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

: draw1.png (35.26 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

..καλησπέρα..
μια τοποθέτηση στην αρχική εκφώνηση.

Έστω $H\equiv DE\cap AM\,\,\,\wedge \,\,\,F\equiv AM\cap ZP$ . Έστω επίσης $\widehat{DAP}=\varphi \,\,\,\wedge \,\,\,\widehat{PAM}=\chi$ . Έστω

διάμεσος-διχοτόμος και υψος στο $\displaystyle\bigtriangleup ABC\Rightarrow \varphi +\chi =45^{\circ}$ .

Τα σημεία A,D,P,M,E

είναι ομοκυκλικά αφού $\widehat{AMP}=\widehat{ADP}=\widehat{AEP}=90^{\circ}$ . Ταυτόχρονα στο ορθόγώνιο παραλληλόγραμμο $ADPE\Rightarrow \widehat{PAD}=\widehat{ADE}=\varphi$ .

Έτσι η $\widehat{DHF}=45^{\circ}+\varphi$ (ως εξωτερική γωνία), με αποτέλεσμα στο ορθογώνιο $\bigtriangleup ZHF\Rightarrow \widehat{PFA}=\chi \Rightarrow PF=PA\,\,\,\wedge \,\,\,PM\perp AF\Rightarrow AM=MF$ .

Δηλαδή η

περνάει από το σταθερό σημείο

που είναι το συμμετρικό του σταθερού σημειου

με άξονα συμμετρίας την σταθερή ευθεία

.-

Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση