Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στη πλευρά . Φέρνουμε :
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Γιάννης
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στη πλευρά . Φέρνουμε :
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (7.06 KiB) Προβλήθηκε 1313 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 1:STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στη πλευρά .
Φέρνουμε :
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Γιάννης
Στο σχήμα αυτό εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι
διότι οι γωνίες αυτές έχουν τις πλευρές των αντίστοιχα κάθετες και είναι οξείες.
Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι:
ως απέναντι ίσων πλευρών.
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο το σημείοι είναι μέσον της υποτείνουσας
(Σύστημα Vecten στο ορθογώνιο τρίγωνο )
Προεκτείνοντας τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα τότε προκύπτει το τετράπλευρο το οποίο είναι ορθογώνιο
και συνεπώς η προέκταση της διέρχεται από το σημείο που είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου και
το οποίο ασφαλώς είναι σταθερό. (Σχήμα 2)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλημέρα ,ευχαριστώ το κ.Δόρτσιο για τη λύση του θέματος .Υπάρχει και λύση με Αναλυτική Γεωμετρία .
Γιάννης
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Γιάννη και Κώστα, Καλημέρα.STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στη πλευρά . Φέρνουμε :
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Γιάννης
Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσο της . Το είναι προφανώς σταθερό. Αρκεί να δείξω ότι η διέρχεται από αυτό το σημείο.
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλημέρα Γιώργο ,ωραία λύση και αξιοποίηση της συμμετρίας στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο
Γιάννης
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Και η απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία:
Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι φανερό ότι η εξίσωση της είναι Τότε, είναι
Άρα και τελικά βρίσκουμε ότι
Είναι φανερό ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο
Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι φανερό ότι η εξίσωση της είναι Τότε, είναι
Άρα και τελικά βρίσκουμε ότι
Είναι φανερό ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο
- Συνημμένα
-
- stathero shmeio.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 1245 φορές
Μάγκος Θάνος
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο κινείται στην ευθεία και οχι στην πλευρά με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;
Γιάννης
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο κινείται στην ευθεία και οχι στην πλευρά με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Μία άλλη σκέψη είναι η εξής :
Θεωρούμε το τρίγωνο και το εκφυλισμένο σε ευθεία τρίγωνο και παρατηρούμε ότι οι εκ των κορυφών του κάθετες ευθείες επί των πλευρών του αντιστοίχως, ως οι μεσοκάθετες ευθείες τους, τέμνονται στο ίδιο σημείο σε άπειρη απόσταση.
Άρα, τα ως άνω τρίγωνα είναι ορθολογικά και επομένως, οι εκ των κορυφών του κάθετες ευθείες επί των πλευρών αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η μεταβλητή ευθεία περνάει από το σταθερό σημείο έστω των δια των παραλλήλων ευθειών προς τις αντιστοίχως, το οποίο ταυτίζεται με το σημμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Θεωρούμε το τρίγωνο και το εκφυλισμένο σε ευθεία τρίγωνο και παρατηρούμε ότι οι εκ των κορυφών του κάθετες ευθείες επί των πλευρών του αντιστοίχως, ως οι μεσοκάθετες ευθείες τους, τέμνονται στο ίδιο σημείο σε άπειρη απόσταση.
Άρα, τα ως άνω τρίγωνα είναι ορθολογικά και επομένως, οι εκ των κορυφών του κάθετες ευθείες επί των πλευρών αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η μεταβλητή ευθεία περνάει από το σταθερό σημείο έστω των δια των παραλλήλων ευθειών προς τις αντιστοίχως, το οποίο ταυτίζεται με το σημμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Kαλησπέρα κ. Βήττα και ευχαριστώ για αυτή την ωραία λύση που δεν είχα υπόψη μου.....
Ωστόσο να διευκρινίσω ότι η λύση με τα ορθολογικά τρίγωνα δεν θα προχωρήση όταν το τρίγωνο που δόθηκε είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές .....Ακόμη πήρα μια νέα ιδέα για την περίπτωση που το σημείο είναι στην ευθεία και όχι στην πλευρά .
Γιάννης
Ωστόσο να διευκρινίσω ότι η λύση με τα ορθολογικά τρίγωνα δεν θα προχωρήση όταν το τρίγωνο που δόθηκε είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές .....Ακόμη πήρα μια νέα ιδέα για την περίπτωση που το σημείο είναι στην ευθεία και όχι στην πλευρά .
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλησπέρα σε όλους.STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο κινείται στην ευθεία και οχι στην πλευρά με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;
Γιάννης
Η πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που το μεταβλητό σημείο κινείται εν γένει στην ευθεία της υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς τρίγωνου .
Αργότερα θα γράψω σχετικά και για τις δύο περιπτώσεις.
Όμως αν το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές έχω την άποψη ότι δεν ισχύει .
Φιλικά Νίκος
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλησπέρα σε όλους . Μετά τις τόσο ωραίες παρεμβάσεις που διάβασα μια ακόμη άποψη .STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στη πλευρά . Φέρνουμε :
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Γιάννης
Πρώτα θα ζητήσω συγνώμη για το συμβολισμό με λατινικούς χαρακτήρες γιατί έχω πρόβλημα στο λογισμικό που χρησιμοποιώ με τα ελληνικά.
Έστω λοιπόν τυχαίο σημείο στην ευθεία διαφορετικό από τα φέρνουμε τις προβολές του στις ευθείες και αγνοούμε προσωρινά την προβολή του στην ( δηλαδή το ) .
Γράφουμε τον κύκλο του ορθογωνίου που τέμνει τον κύκλο του και στο .
Ο κύκλος αυτό θα έχει κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου , ενώ ό έχει κέντρο το μέσον του .
Επειδή η γωνία και το σημείο θα ανήκει στον κύκλο του ορθογωνίου .
Προφανές ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή ορθογώνια και έτσι με άμεση συνέπεια .
Τώρα όμως και έτσι η διάκεντρος που είναι κάθετος στην κοινή χορδή θα είναι κάθετος και στην .
Επίσης η που είναι κάθετη στην ( αφού η διάμετρος) θα είναι κάθετη και στην στο που προφανώς θα ταυτίζεται με το .
Έστω τώρα το σταθερό αντιδιαμετρικό του στον κύκλο .
Επειδή τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία και συνεπώς η δηλαδή η διέρχεται από το .
Στην περίπτωση που το βρίσκεται ανάμεσα στα η απόδειξη είναι ή ιδια.
Φιλικά Νίκος
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Ευχαριστώ Νίκο για την εύστοχη παρέμβαση και τη λύση όταν το σημείο κινείται στην ευθεία
Πιστεύω ότι η άσκηση δεν ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές ...θα το δω ....
φιλικά
Γιάννης
Πιστεύω ότι η άσκηση δεν ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές ...θα το δω ....
φιλικά
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλησπέρα σε όλους.
Πράγματι η συνθήκη είναι το τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθογώνιο. Η ευθεία διέρχεται πάντα από την τέταρτη κορυφή του ρόμβου με τρεις κορυφές τα .
Πράγματι η συνθήκη είναι το τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθογώνιο. Η ευθεία διέρχεται πάντα από την τέταρτη κορυφή του ρόμβου με τρεις κορυφές τα .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Καλημέρα σε όλους. Μου άρεσε το παρόν θέμα.
Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το είναι (μόνο) ισοσκελές. Το είναι το συμμετρικό του ως προς την και η τομή των . Αρκεί η ευθεία να είναι κάθετη στην .
Εύκολα βρίσκουμε όπως ΕΔΩ ότι . Τότε
Φιλικά , Γιώργος.
Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το είναι (μόνο) ισοσκελές. Το είναι το συμμετρικό του ως προς την και η τομή των . Αρκεί η ευθεία να είναι κάθετη στην .
Εύκολα βρίσκουμε όπως ΕΔΩ ότι . Τότε
Φιλικά , Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 491
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm
Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
..καλησπέρα..
μια τοποθέτηση στην αρχική εκφώνηση.
Έστω . Έστω επίσης . Έστω διάμεσος-διχοτόμος και υψος στο .
Τα σημεία είναι ομοκυκλικά αφού . Ταυτόχρονα στο ορθόγώνιο παραλληλόγραμμο .
Έτσι η (ως εξωτερική γωνία), με αποτέλεσμα στο ορθογώνιο .
Δηλαδή η περνάει από το σταθερό σημείο που είναι το συμμετρικό του σταθερού σημειου με άξονα συμμετρίας την σταθερή ευθεία .-
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 24 επισκέπτες