Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Δείξτε ότι ο λόγος παραμένει ίδιος , είτε αν το συμπέσει με το , είτε το συμπέσει με το .
Βρείτε τη μέγιστη τιμή αυτού του λόγου ( επιτρέπεται η χρήση λογισμικού )
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Για το πρώτο ερώτημα η απάντηση είναι και προκύπτει εύκολα από όμοια τρίγωνα, βλέπε συνημμένο.
Το δεύτερο ερώτημα θέλει δουλειά: θέτοντας η εφαπτομένη στο έχει εξίσωση , οπότε σε συνδυασμό με την βρίσκουμε ότι οι τετμημένες των , είναι οι ρίζες της δευτεροβαθμίου
επομένως
και
Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)
MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3
Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό
[Τα όρια και βρέθηκαν θέτοντας και στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις και . Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας , οπότε , και , οπότε ]
Γιώργος Μπαλόγλου
Το δεύτερο ερώτημα θέλει δουλειά: θέτοντας η εφαπτομένη στο έχει εξίσωση , οπότε σε συνδυασμό με την βρίσκουμε ότι οι τετμημένες των , είναι οι ρίζες της δευτεροβαθμίου
επομένως
και
Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)
MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3
Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό
[Τα όρια και βρέθηκαν θέτοντας και στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις και . Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας , οπότε , και , οπότε ]
Γιώργος Μπαλόγλου
- Συνημμένα
-
- πεντετριτα.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Εξακολουθώ να αναζητώ εθελοντή με βαρβάτο λογισμικό για εκτέλεση της παραπάνω εντολής -- το μέγιστο υπολογίζω να είναι κοντά στο . (Ήδη στο σχήμα του Θανάση ο λόγος υπερβαίνει το .)gbaloglou έγραψε:Από εδώ και πέρα εύκολα βρίσκουμε ότι το μέγιστο του λόγου δίνεται από την εντολή (WolframAlpha)
MAXIMIZE (((x-(x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3-(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5)/(((x-(x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)/4)^2+(((3+2x-x^2)^.5)-((16-((x^2+2x-3+(x^4+4x^3-70x^2+92x+165)^.5)^2)/16)^.5))^2)^.5) FOR 1/5<=x<=7/3
Η παραπάνω εντολή ... δεν χωράει στο WolframAlpha, οπότε παρακαλώ όποιον διαθέτει πρόσβαση στο κατάλληλο λογισμικό να κάνει τον υπολογισμό
[Τα όρια και βρέθηκαν θέτοντας και στην δευτεροβάθμιο, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα οι εξισώσεις και . Η ορθότητα αριθμητή και παρονομαστή στον παραπάνω τύπο έχει ελεγχθεί θέτοντας , οπότε , και , οπότε ]
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Σύμφωνα με την καταπληκτική δουλειά του Στάθη Κούτρα εδώ, ο λόγος μεγιστοποιείται περίπου -- αν όχι ακριβώς -- στο σημείο που υποδεικνύει στο αρχικό σχήμα ο KARKAR: η πρόταση του Στάθη είναι ότι ο λόγος μεγιστοποιείται στο σημείο επαφής της εφαπτομένης από το στο εσωτερικό ημικύκλιο, βλέπε συνημμένο! (Όπως με ενημερώνει ο Στάθης, πρόκειται προς το παρόν για εικασία, αλλά μάλλον ισχύει -- μία έξοχη πραγματικά σύλληψη και μετατροπή ενός υπολογιστικού προβλήματος σε γεωμετρικό )
Θα υποθέσω τώρα ότι αληθεύει η εικασία του Στάθη για να εκφωνήσω επιτέλους τον λόγο του Θανάση με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς μου:
Θέτοντας και λαμβάνουμε αντίστοιχα -- βλέπε συνημμένο -- και , οπότε εύκολα (WolframAlpha) έχουμε .
Η εξίσωση της εφαπτομένης του ημικυκλίου , με , δίνει, για και (συντεταγμένες του ), -- πολύ πολύ κοντά στην τετμημένη του σημείου του Θανάση!
Θέτοντας τώρα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του τύπου, το WolframAlpha δίνει και , οπότε .
Γιώργος Μπαλόγλου
Θα υποθέσω τώρα ότι αληθεύει η εικασία του Στάθη για να εκφωνήσω επιτέλους τον λόγο του Θανάση με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς μου:
Θέτοντας και λαμβάνουμε αντίστοιχα -- βλέπε συνημμένο -- και , οπότε εύκολα (WolframAlpha) έχουμε .
Η εξίσωση της εφαπτομένης του ημικυκλίου , με , δίνει, για και (συντεταγμένες του ), -- πολύ πολύ κοντά στην τετμημένη του σημείου του Θανάση!
Θέτοντας τώρα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του τύπου, το WolframAlpha δίνει και , οπότε .
Γιώργος Μπαλόγλου
- Συνημμένα
-
- κούτρας.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Τριγωνομετρική επίλυση του προβλήματος από τον Γιώργο Τσίντσιφα:
Από
και
λαμβάνουμε (για )
(Ας επισημανθεί εδώ ότι η γωνία μεταβάλλεται από (θέση ) έως (θέση ).)
Έχοντας πλέον εκφράσει τον ζητούμενο λόγο ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, ο μηδενισμός της αντίστοιχης παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμιο
,
με μόνη αποδεκτή ρίζα την : εύκολα πλέον βρίσκουμε ότι η ζητούμενη μέγιστη τιμή ισούται προς περίπου , επαληθεύοντας την γεωμετρική εικασία του Στάθη Κούτρα (εδώ).
Εκ μέρους του Γιώργου Τσίντσιφα,
Γιώργος Μπαλόγλου
Από
και
λαμβάνουμε (για )
(Ας επισημανθεί εδώ ότι η γωνία μεταβάλλεται από (θέση ) έως (θέση ).)
Έχοντας πλέον εκφράσει τον ζητούμενο λόγο ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, ο μηδενισμός της αντίστοιχης παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμιο
,
με μόνη αποδεκτή ρίζα την : εύκολα πλέον βρίσκουμε ότι η ζητούμενη μέγιστη τιμή ισούται προς περίπου , επαληθεύοντας την γεωμετρική εικασία του Στάθη Κούτρα (εδώ).
Εκ μέρους του Γιώργου Τσίντσιφα,
Γιώργος Μπαλόγλου
- Συνημμένα
-
- tsintrig.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Λόγος μη ... εκφωνηθείς
Γι αυτούς που ασχολήθηκαν με το θέμα "Εκκεντρότητα" , βρήκα μιαν ανάρτηση του που είναι
ακριβώς με τα ίδια νούμερα , οπότε την διαγράφω ...
ακριβώς με τα ίδια νούμερα , οπότε την διαγράφω ...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες