Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11770
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 03, 2014 8:48 pm

Εφαπτομένη  και προέκταση  διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9679
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 03, 2014 9:28 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Καλησπέρα και Καλή Σαρακοστή.
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
● Έστω \displaystyle{t < \frac{d}{2}}
Από δύναμη του σημείου S έχουμε:

\displaystyle{S{P^2} = SB \cdot SA = x(x + d) \Leftrightarrow } \boxed{S{P^2} = {x^2} + dx} (1)

Από Π.Θ στο PTS: \displaystyle{S{P^2} = T{S^2} + P{T^2} \Leftrightarrow } \boxed{S{P^2} = {(t + x)^2} + P{T^2}} (2)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PAB με ύψος PT: \displaystyle{P{T^2} = AT \cdot TB \Leftrightarrow } \boxed{P{T^2} = t(d - t)} (3)

Από (1), (2), (3) παίρνουμε:

\displaystyle{{x^2} + dx = {t^2} + 2tx + {x^2} + td - {t^2} \Leftrightarrow (d - 2t)x = td \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{td}}{{d - 2t}}}

● Αν \displaystyle{t = \frac{d}{2}} το πρόβλημα δεν έχει λύση γιατί η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη διάμετρο.

● Αν \displaystyle{t > \frac{d}{2}}, τότε η εφαπτομένη τέμνει την προέκταση της διαμέτρου προς το μέρος του A και είναι

\boxed{x = \frac{{td}}{{2t - d}}}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μαρ 03, 2014 9:35 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Εφαπτομένη  και προέκταση  διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
Από Θ. Τεμνουσών \displaystyle{PS^2=PA\cdot PB= x(x+d)}
από Πυθ. Θεωρημα \displaystyle{PS^2=ST^2+PT^2=(x+t)^2+PT^2}
από μετρικές σχέσεις ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle{PT^2=TA \cdot TB=t(d-t)}
συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε :
\displaystyle{t(d-t)+(x+t)^2= x(x+d) \Leftrightarrow td-t^2+x^2+2xt+t^2=x^2+dx \Leftrightarrow td=x(d-2t) \Leftrightarrow x=\frac{dt}{d-2t}}

Υ.Γ. το αφήνω για τον κόπο, δεν πέρασε από το μυαλό μου η διερεύνηση :wallbash:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4036
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 03, 2014 10:32 pm

KARKAR έγραψε:Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Προφανώς η ευθεία PT είναι η πολική του S ως προς τον κύκλο άρα η τετράδα \left( {B,A,T,S} \right) είναι αρμονική (αν t < \dfrac{d}{2}) οπότε: \ldots x = \dfrac{{td}}{{d - 2t}} ή

η τετράδα \left( {A,B,T,S} \right) είναι αρμονική (αν t > \dfrac{d}{2}) οπότε: \ldots x = \dfrac{{td}}{{2t - d}} και προφανώς το S είναι το επ' άπειρον σημείο αν t = \dfrac{d}{2} οπότε x \to \infty.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7428
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 03, 2014 10:55 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Εφαπτομένη σε ημικύκλιο.png
Εφαπτομένη σε ημικύκλιο.png (35.32 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Επειδή \widehat \theta  = \widehat {A\,}( Υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και \widehat \phi  = \widehat {A\,} ( κάθετες πλευρές) θα έχουμε \boxed{\widehat \theta  = \widehat {\phi \,}} . Άρα η SP εφάπτεται και του κύκλου (B,t) , έστω στο σημείο D. Ας είναι b = 2R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R > t ( Όπως το

θέλει ο KARKAR) . Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων POS\,\kappa \alpha \iota \,DBS θα έχουμε :

\dfrac{{SB}}{{SO}} = \dfrac{{BD}}{{OP}} \Rightarrow xR = (x + R)t \Rightarrow x = \dfrac{{Rt}}{{R - t}} \Rightarrow x = \dfrac{{2Rt}}{{2R - 2t}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{bt}}{{b - 2t}}} .

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης