ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Αυτά είναι τα θέματα !
Καλά αποτελέσματα στους διαγωνιζόμενους !
Μπάμπης
Καλά αποτελέσματα στους διαγωνιζόμενους !
Μπάμπης
- Συνημμένα
-
- eukleidis-2014.pdf
- (405.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 1842 φορές
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
ΘΕΜΑ 3/Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αφού και είναι και
, οπότε .
Συνεπώς, , κι αφού έπεται ότι και . Επιπλέον,
οπότε
.
Άρα θα πρέπει να ισχύει η ισότητα, οπότε .
Edit (2018): Διόρθωση κώδικα , προσθήκη $.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αφού και είναι και
, οπότε .
Συνεπώς, , κι αφού έπεται ότι και . Επιπλέον,
οπότε
.
Άρα θα πρέπει να ισχύει η ισότητα, οπότε .
Edit (2018): Διόρθωση κώδικα , προσθήκη $.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Νοέμ 18, 2018 9:39 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3536
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Καλημέρα. Δίνω τα σχήματα όλων των γεωμετρικών θεμάτων σε geogebra.
- Συνημμένα
-
- Geometry Shapes Euklidis 2014.rar
- (24.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 535 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
ΘΕΜΑ 2/Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Η εξίσωση γίνεται .
Συνεπώς, πρέπει να υπάρχουν ακέρεαιοι ώστε και .
Αν , η εξίσωση έχει μόνο ακέραιες λύσεις.
Αν , τότε , κι άρα (1) και (2).
Δε μπορεί να είναι και λόγω της (1). Έστω ότι . Τότε και . Ομοίως, αν , τότε .
Άρα είναι και . Αν , τότε , οπότε δεν είναι ακέραιος. Συνεπώς, . Ομοίως .
Εύκολα βλέπουμε ότι λύσεις είναι ή . Άρα .
Τελική απάντηση: ή .
Φιλικά,
Αχιλλέας
(Edit:Στην πρώτη δημοσίευση το επιχείρημα ότι δε μπορεί να είναι και ήταν λανθασμένο, αφού βιαστικά είχα γράψει ότι . Βιαζόμουν να επιστρέψω στο εξεταστικό κέντρο πριν βγούν οι μαθητές μας και... Όποιος βιάζεται...ευχαριστώ, Αποστόλη (apotin) !) Ευτυχώς διορθώθηκε εύκολα!
Η εξίσωση γίνεται .
Συνεπώς, πρέπει να υπάρχουν ακέρεαιοι ώστε και .
Αν , η εξίσωση έχει μόνο ακέραιες λύσεις.
Αν , τότε , κι άρα (1) και (2).
Δε μπορεί να είναι και λόγω της (1). Έστω ότι . Τότε και . Ομοίως, αν , τότε .
Άρα είναι και . Αν , τότε , οπότε δεν είναι ακέραιος. Συνεπώς, . Ομοίως .
Εύκολα βλέπουμε ότι λύσεις είναι ή . Άρα .
Τελική απάντηση: ή .
Φιλικά,
Αχιλλέας
(Edit:Στην πρώτη δημοσίευση το επιχείρημα ότι δε μπορεί να είναι και ήταν λανθασμένο, αφού βιαστικά είχα γράψει ότι . Βιαζόμουν να επιστρέψω στο εξεταστικό κέντρο πριν βγούν οι μαθητές μας και... Όποιος βιάζεται...ευχαριστώ, Αποστόλη (apotin) !) Ευτυχώς διορθώθηκε εύκολα!
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 18, 2014 12:36 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
ΘΕΜΑ 1/Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Είναι και οπότε
Από τη δοθείσα έπεται ότι
,
δηλαδή, από τον κανόνα του παραλληλογράμμου,
,
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Είναι και οπότε
Από τη δοθείσα έπεται ότι
,
δηλαδή, από τον κανόνα του παραλληλογράμμου,
,
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Μία λύση για το 3 της Γ Λυκείου:
Ας υποθέσουμε ότι τέτοιο δεν υπάρχει τότε για κάθε . Αφού στο άθροισμα εμφανίζονται τιμές της συνάρτησης και η είναι άρα πρέπει οι τιμές να είναι μία αναδιάταξη των . Άρα .
Όμως δηλαδή ο βρίσκεται μεταξύ δύο κύβων διαδοχικών ακεραίων αριθμών, άρα δεν μπορεί να είναι κύβος, άτοπο.
Άρα υπάρχει με τη ζητούμενη ιδιότητα.
Αλέξανδρος
Ας υποθέσουμε ότι τέτοιο δεν υπάρχει τότε για κάθε . Αφού στο άθροισμα εμφανίζονται τιμές της συνάρτησης και η είναι άρα πρέπει οι τιμές να είναι μία αναδιάταξη των . Άρα .
Όμως δηλαδή ο βρίσκεται μεταξύ δύο κύβων διαδοχικών ακεραίων αριθμών, άρα δεν μπορεί να είναι κύβος, άτοπο.
Άρα υπάρχει με τη ζητούμενη ιδιότητα.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Δ
.Έχουμε
Έτσι εχουμε
με την ισότητα να ισχύει μονο όταν
Αρα , μόνο όταν
Ν.Ζ.
.Έχουμε
Έτσι εχουμε
με την ισότητα να ισχύει μονο όταν
Αρα , μόνο όταν
Ν.Ζ.
τελευταία επεξεργασία από nikoszan σε Σάβ Ιαν 18, 2014 2:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Α' ΛΥΚΕΙΟΥ/ΘΕΜΑ 4ο
Μια προσέγγιση που κάναμε με το συνάδελφο Βασίλη Αθανασίου στο γραφείο, στα γρήγορα :
Αν θέσουμε , λύνουμε ως προς και από τη δοσμένη σχέση φτιάχνουμε εξίσωση ως προς με παράμετρο . Απαιτούμε η διακρίνουσα να είναι μεγαλύτερη
ή ίση από το μηδέν και βρίσκουμε .
Η συνέχεια είναι λογική.
(To αν αυτά είναι επιτρεπτά, με την έννοια ότι η μία παράμετρος εξαρτάται από την άλλη, το έχουμε κουβεντιάσει πλατιά σε άλλες εποχές !)
Μπάμπης
Μια προσέγγιση που κάναμε με το συνάδελφο Βασίλη Αθανασίου στο γραφείο, στα γρήγορα :
Αν θέσουμε , λύνουμε ως προς και από τη δοσμένη σχέση φτιάχνουμε εξίσωση ως προς με παράμετρο . Απαιτούμε η διακρίνουσα να είναι μεγαλύτερη
ή ίση από το μηδέν και βρίσκουμε .
Η συνέχεια είναι λογική.
(To αν αυτά είναι επιτρεπτά, με την έννοια ότι η μία παράμετρος εξαρτάται από την άλλη, το έχουμε κουβεντιάσει πλατιά σε άλλες εποχές !)
Μπάμπης
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 18, 2014 11:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Γενικό σχόλιο !
Οι Γεωμετρίες των Α και Β' Λυκείου που κοίταξα μέχρι τώρα, είναι καλές για Ευκλείδη !
Ευχαριστώ και το Μιχάλη για τα σχήματα !
Οι Γεωμετρίες των Α και Β' Λυκείου που κοίταξα μέχρι τώρα, είναι καλές για Ευκλείδη !
Ευχαριστώ και το Μιχάλη για τα σχήματα !
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Για το 2ο της Γ Λυκείου:
α) Από την ανισότητα Cauchy - Schwartz έχουμε
Άρα δηλαδή με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν δηλαδή όταν απ' όπου βγάζουμε .
β) Πρέπει το σύστημα κύκλου ευθείας να έχει μοναδική λύση. Όταν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση του κύκλου παίρνουμε τελικά τη δευτεροβάθμια εξίσωση
η οποία θέλουμε να έχει μοναδική λύση άρα απαιτούμε η διακρίνουσα να είναι . Βγάζουμε απ' όπου και . Η ελάχιστη λοιπόν τιμή του είναι η .
Αλέξανδρος
α) Από την ανισότητα Cauchy - Schwartz έχουμε
Άρα δηλαδή με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν δηλαδή όταν απ' όπου βγάζουμε .
β) Πρέπει το σύστημα κύκλου ευθείας να έχει μοναδική λύση. Όταν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση του κύκλου παίρνουμε τελικά τη δευτεροβάθμια εξίσωση
η οποία θέλουμε να έχει μοναδική λύση άρα απαιτούμε η διακρίνουσα να είναι . Βγάζουμε απ' όπου και . Η ελάχιστη λοιπόν τιμή του είναι η .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Θέμα 1ο της Α Λυκείου
Άρα .
Όμως που ισοδύναμα (υψώνουμε και τα δύο μέλη στην 8η) δίνει: που ισχύει.
Άρα .
Αλέξανδρος
Άρα .
Όμως που ισοδύναμα (υψώνουμε και τα δύο μέλη στην 8η) δίνει: που ισχύει.
Άρα .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Έχουμε μήπως τις λύσεις των θεμάτων;
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
ΘΕΜΑ 4/Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αφού μέσο του τόξου είναι . Έστω (*).
Αφού το είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι το έγκεντρο του τριγώνου είναι και .
Για να δείξουμε τη ζητούμενη ισότητα κι αφού είναι εξωτερική στο , κι η είναι εξωτερική στο , λόγω της (*) αρκεί να δειχθεί ότι .
Αλλά η τελευταία σχέση έπεται άμεσα από το γεγονός ότι οι γωνίες και είναι παραπληρωματικές.
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Edit: Διόρθωση με κόκκινο χρώμα.
Αφού μέσο του τόξου είναι . Έστω (*).
Αφού το είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι το έγκεντρο του τριγώνου είναι και .
Για να δείξουμε τη ζητούμενη ισότητα κι αφού είναι εξωτερική στο , κι η είναι εξωτερική στο , λόγω της (*) αρκεί να δειχθεί ότι .
Αλλά η τελευταία σχέση έπεται άμεσα από το γεγονός ότι οι γωνίες και είναι παραπληρωματικές.
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Edit: Διόρθωση με κόκκινο χρώμα.
- Συνημμένα
-
- euclid_2014_4.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 9114 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 18, 2014 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Στην Α' Λυκείου δύσκολα θέματα.Έλυσα 1,2.Τη γεωμετρία δεν την πρόλαβα αφού ασχολήθηκα γύρω στις δύο ώρες με το 4,δυστυχώς όμως δεν το έβγαλα.
Δείτε λίγο τη λύση μου στο 4.(είναι λάθος προφανώς)
Προσθέτουμε στα δύο μέλη το κι έτσι η σχέση γίνεται .
Θεωρούμε το δεύτερο μέλος τριώνυμο ως προς και γνωρίζουμε ότι παίρνει μέγιστη τιμή για .
Άρα το άθροισμα παίρνει μέγιστη τιμή για .
Αντικαθιστούμε στη δοσμένη σχέση και έχουμε .
Με πράξεις έχουμε της οποίας θετική λύση είναι η .
Άρα .
Άρα .
Εντάξει βλέποντας όλα αυτά τα περίεργα νούμερα το ήξερα ότι υπήρχε λάθος αλλά δυστυχώς δεν κατάφερα να σκεφτώ να πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη με 5 οπότε θα έβγαινε αμέσως.Όμως και πάλι δεν καταλαβαίνω τι λάθος υπάρχει στη λύση αυτή.
Δείτε λίγο τη λύση μου στο 4.(είναι λάθος προφανώς)
Προσθέτουμε στα δύο μέλη το κι έτσι η σχέση γίνεται .
Θεωρούμε το δεύτερο μέλος τριώνυμο ως προς και γνωρίζουμε ότι παίρνει μέγιστη τιμή για .
Άρα το άθροισμα παίρνει μέγιστη τιμή για .
Αντικαθιστούμε στη δοσμένη σχέση και έχουμε .
Με πράξεις έχουμε της οποίας θετική λύση είναι η .
Άρα .
Άρα .
Εντάξει βλέποντας όλα αυτά τα περίεργα νούμερα το ήξερα ότι υπήρχε λάθος αλλά δυστυχώς δεν κατάφερα να σκεφτώ να πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη με 5 οπότε θα έβγαινε αμέσως.Όμως και πάλι δεν καταλαβαίνω τι λάθος υπάρχει στη λύση αυτή.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Ιαν 18, 2014 1:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Μια λύση για το 3Β' Λυκείου:
Από Cauchy-Schwarz είναι
Άρα ισχύει παντού ισότητα, οπότε εύκολα
Από Cauchy-Schwarz είναι
Άρα ισχύει παντού ισότητα, οπότε εύκολα
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Ιαν 18, 2014 1:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Μια λύση για το 4Α' Λυκείου:
Η δοθείσα γράφεται
Θέτω οπότε οπότε από Cauchy-Schwarz είναι
Η ισότητα ισχύει όταν ισχύει η ισότητα στην Cauchy-Schwarz δηλαδή όταν η οποία σε συνδυασμό με την δίνει
Προφανώς, ο περιορισμός είναι περιττός.
Η δοθείσα γράφεται
Θέτω οπότε οπότε από Cauchy-Schwarz είναι
Η ισότητα ισχύει όταν ισχύει η ισότητα στην Cauchy-Schwarz δηλαδή όταν η οποία σε συνδυασμό με την δίνει
Προφανώς, ο περιορισμός είναι περιττός.
Μάγκος Θάνος
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Έχοντας γυρίσει μολις τώρα απο τον Ευκλείδη, γράφω τις εντυπώσεις μου από τη γ λυκείου. Σαν γενική παρατήρηση έχω να πω πως μου φάνηκαν πιο βατά από τα αντίστοιχα περσινά. Τα δύο πρώτα θέματα ήταν αξιοπρεπή, αν και το 2β παραήταν εύκολο για γ λυκείου. Υπάρχει ίδια μεθοδολογία σε ανάρτησή μου με τίτλο "Ιδιοκατασκευή" (viewtopic.php?f=51&t=40133), στο φάκελο των μιγαδικών. Το τρίτο νομίζω ήταν το καλύτερο του διαγωνισμού και θα μπορούσε θεωρητικά να τεθεί και στον Αρχιμήδη σε 1-2 θέμα. Η λύση μου είναι ίδια με εκείνη του κυρίου Συγκελάκη. Το 4 νομίζω ήταν κάπως εύκολο για γεωμετρία Ευκλείδη. Το κόλπο με τα συνευθυειακά είναι τετριμμένο... Γενικά υπολογίζω γύρω στο 15 γιατί έχασα κάτι βλακοδώς στο πρώτο θέμα και επειδή δεν μου έκατσε καλά το 2α. Υπολογίζω δε τη βάση κοντά στα δυό θέματα. Θα επανέλθω με περεταίρω σχόλια γιατί τώρα έχω μάθημα. Καλά αποτελέσματα σε όλους!
τελευταία επεξεργασία από ArgirisM σε Σάβ Ιαν 18, 2014 6:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αν κάτι μπορεί να πάει στραβά, θα πάει!
Νόμος του Μέρφυ
Νόμος του Μέρφυ
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Από τους καλύτερους δυνατούς Ευκλείδηδες. Πρόλαβα και τα είδα όλα όντας επιτηρητής. Το επίπεδο δυσκολίας ήταν ακριβώς αυτό που θα έπρεπε να είναι. Επίσης όλα τα θέματα είχαν σεβαστό επίπεδο δυσκολίας (δεν υπήρχε δηλαδή κάποιο γελοίο πρώτο θέμα) ΚΑΙ υπήρχε και διαβάθμιση. Ξεκάθαρα συγχαρητήρια (και) για φέτος στην ΕΜΕ.
τελευταία επεξεργασία από Κώστας Παππέλης σε Κυρ Ιαν 19, 2014 10:23 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Παναγιώτης Χ.
- Δημοσιεύσεις: 37
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 6:25 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Εμένα τα θέματα στη Β' Γυμνασίου μου φάνηκαν αρκετά πιο δύσκολα από άλλες χρονιές. Έγραψα τα 3 από τα 4 θέματα. Μήπως έχει κανείς τις λύσεις; Καλά αποτελέσματα σε όλους!
Παναγιώτης Χαλιμούρδας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Γ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 2
Έχουμε την εξίσωση
Για
Για
Η έχει διακρίνουσα .
Άρα
Έστω οι ακέραιες ρίζες της με
Αν τότε
και
Άρα και
Αν
και και όμοια
τότε
Έτσι έχουμε ή
με σε κάθε περίπτωση
Τελικά οι ζητούμενες τιμές του είναι οι:
Πρόβλημα 2
Έχουμε την εξίσωση
Για
Για
Η έχει διακρίνουσα .
Άρα
Έστω οι ακέραιες ρίζες της με
Αν τότε
και
Άρα και
Αν
και και όμοια
τότε
Έτσι έχουμε ή
με σε κάθε περίπτωση
Τελικά οι ζητούμενες τιμές του είναι οι:
τελευταία επεξεργασία από apotin σε Σάβ Ιαν 18, 2014 1:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αποστόλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες