Από τη Ρωσία με αγάπη
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Από τη Ρωσία με αγάπη
αντίστοιχα, ώστε να ισχύει .
Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία ,
να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Γιώργο καλημέρα!!! με αγάπη από την Αιδηψόgeorge visvikis έγραψε: Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε να ισχύει . Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία , να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Αυτό το Θέμα μου φαίνεται ιδιαίτερα όμορφο. Έχω μια λύση (στοιχειώδη μεν, μπελαλίδικη δε) αλλά είναι πολύ αργά για να γραφτεί (είναι και "μπόλικη") και θα επανέλθω αύριο (δεν ξέρω τι ώρα θα ξυπνήσω ) αν δεν βρεθεί κάτι πιο απλό.
Να είσαι πάντα καλά και σε ευχαριστώ θερμά για τα όμορφα θέματα που μας "ταΐζεις"
Με εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Καλημέρα σε όλους. Από την Αιδηψό με απέραντη αγάπη ...george visvikis έγραψε: Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε να ισχύει . Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία , να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Εστω το συμμετρικό του ως προς το , και ας είναι τα σημεία τομής της εκ του
παραλλήλου προς την με τις αντίστοιχα.
Τότε με
και ας είναι . Με ισοσκελές τραπέζιο και συνεπώς με μεσοκάθετη της
προκύπτει ότι είναι συνευθειακά, με .
[attachment=0]Από τη Ρωσία με αγάπη.png[/attachment]
Με μεσοκάθετη της το ορθόκεντρο
του τριγώνου και ας είναι εγγράψιμα
σε κύκλους οπότε: συνευθειακά, οπότε:
από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
εγγράψιμο, οπότε: .
Από εγγράψιμο οπότε: και απο εγγράψιμο άρα
. Τέλος από ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Από τη Ρωσία με αγάπη.png (73.21 KiB) Προβλήθηκε 1791 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Έστω το μέτρο της πλευράς του τετραγώνου τότε
οπότε
Αν σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του ώστε τότε και
( από την ισότητα των τριγώνων ) επομένως μεσοκάθετος της οπότε κοινή άρα είναι
ίσα τα τρίγωνα τότε
όμοια οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι ομοκυκλικά και ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Μετά από π.μ. του Κώστα Βήττα (τον οποίο και ευχαριστώ) προέκυψε πρόβλημα στο συμπέρασμα
μια και πέρνει δεδομένο : συνευθειακά
Αφήνω την απόδειξη για διδακτικούς λόγους
οπότε
Αν σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του ώστε τότε και
( από την ισότητα των τριγώνων ) επομένως μεσοκάθετος της οπότε κοινή άρα είναι
ίσα τα τρίγωνα τότε
όμοια οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι ομοκυκλικά και ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Μετά από π.μ. του Κώστα Βήττα (τον οποίο και ευχαριστώ) προέκυψε πρόβλημα στο συμπέρασμα
μια και πέρνει δεδομένο : συνευθειακά
Αφήνω την απόδειξη για διδακτικούς λόγους
τελευταία επεξεργασία από GMANS σε Παρ Δεκ 06, 2013 10:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γ. Μανεάδης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Καλημέρα Στάθη
Πρώτα απ' όλα σ' ευχαριστώ που έχασες τον ύπνο σου για να ασχοληθείς με αυτή την άσκηση ( γιατί απ' ό,τι κατάλαβα δεν κοιμήθηκες καθόλου. Υπολογίζω από τις 4 μέχρι τις 8 και ούτε).
Πάντως είσαι άπαιχτος!!!
Δεν έχω γνωρίσει ποτέ μου άνθρωπο με τόση φαντασία.
Σ' ευχαριστώ και πάλι και καλή σου μέρα
Γιώργος
Πρώτα απ' όλα σ' ευχαριστώ που έχασες τον ύπνο σου για να ασχοληθείς με αυτή την άσκηση ( γιατί απ' ό,τι κατάλαβα δεν κοιμήθηκες καθόλου. Υπολογίζω από τις 4 μέχρι τις 8 και ούτε).
Πάντως είσαι άπαιχτος!!!
Δεν έχω γνωρίσει ποτέ μου άνθρωπο με τόση φαντασία.
Σ' ευχαριστώ και πάλι και καλή σου μέρα
Γιώργος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Καλημέρα GMANSGMANS έγραψε:έστω a το μέτρο της πλευράς του τετραγώνου τότε
οπότε (BK)+(ND)=(KN)
Αν P σημείο στην προέκταση της AD προς το μέρος του D ώστε (DP)=(KA)
τότε (NK)=(NP) και (KC)=(CP)(από την ισότητα των τριγώνων KBC,CDP)
επομένως CN μεσοκάθετος της ΚP οπότε MK=MP, NP=NK,MN κοινή άρα είναι
ίσα τα τρίγωνα ΚΜΝ, ΜΝΡ τότε
όμοια
οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι ομοκυκλικά και ανήκουν στον περιγεγραμμένο
κύκλο του τριγώνου ΚΑΝ
Φοβερή λύση!!!
Δεν την είδα αναλυτικά επειδή δεν έχει σχήμα, αλλά και γιατί βιάζομαι να φύγω. Πάντως φαίνεται πολύ ωραία και απλή.
Σ΄ευχαριστώ
Γιώργος
Επανέρχομαι.
Ομολογώ ότι δυσκολεύτηκα να καταλάβω κάποια σημεία( λίγο απότομα), αλλά αυτό
με τίποτα δεν μειώνει την υπέροχη αυτή λύση!!!
-
- Δημοσιεύσεις: 491
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
george visvikis έγραψε:Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία
αντίστοιχα, ώστε να ισχύει .
Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία ,
να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
..καλησπέρα..
ονομάζω
Επειδή \displaystyle{\displaystyle\Rightarrow \frac{BM}{MD+BM}=\frac{BC}{ND+BC}\Rightarrow ...BM=\frac{\sqrt{2}a^{2}}{a+t}\,\,\,\,(1)\displaystyle\bigtriangleup BKL\approx \bigtriangleup CLD\Rightarrow \frac{BK}{CD}=\frac{BL}{LD}\displaystyle\Rightarrow \frac{BK}{CD+BK}=\frac{BL}{LD+BL}}
Από την υπόθεση έχουμε ότι:
Παρατηρούμε τώρα (με την βοήθεια των σχέσεων (1),(2)) ότι: η οπόία και ισχύει λόγω της (3)
δηλαδή τα σημεία υπακούουν στην σχέση δηλαδή είναι ομοκυκλικά
Ακριβώς με την ίδια διαδικασία δείχνουμε ότι: που σημαίνει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά και άρα
το πεντάπλευρο είναι εγγράψιμο
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Από το Μαρούσι Αττικής, με αγάπη.
Έστω το σημείο και στο τρίγωνο με διατέμνουσα την σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε λόγω .
Έστω το σημείο επί της ώστε να έίναι και έχουμε
Από και της εκφώνησης, προκύπτει ότι και άρα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Θα αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν και λόγω του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου και του ισοσκελούς τραπεζίου
Από την ομοιότητα αυτών των τριγώνων έχουμε λόγω
Από και και προκύπτει ότι και άρα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και έστω το σημείο
Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι το σημείο ταυτίζεται με το σημείο της εκφώνησης.
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε
Αλλά, ισχύει λόγω συμμετρίας του σχήματος ως προς την ευθεία
Από
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα ισχύει λόγω
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε λόγω
Από συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και άρα, το σημείο ταυτίζεται με το σημείο
Άρα, τα σημεία είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα το σχήμα και συγχωρέστε με για τυχόν αβλεψίες μου, λόγω του προχωρημένου της ώρας.
Έστω το σημείο και στο τρίγωνο με διατέμνουσα την σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε λόγω .
Έστω το σημείο επί της ώστε να έίναι και έχουμε
Από και της εκφώνησης, προκύπτει ότι και άρα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Θα αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν και λόγω του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου και του ισοσκελούς τραπεζίου
Από την ομοιότητα αυτών των τριγώνων έχουμε λόγω
Από και και προκύπτει ότι και άρα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και έστω το σημείο
Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι το σημείο ταυτίζεται με το σημείο της εκφώνησης.
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε
Αλλά, ισχύει λόγω συμμετρίας του σχήματος ως προς την ευθεία
Από
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα ισχύει λόγω
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε λόγω
Από συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και άρα, το σημείο ταυτίζεται με το σημείο
Άρα, τα σημεία είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα το σχήμα και συγχωρέστε με για τυχόν αβλεψίες μου, λόγω του προχωρημένου της ώρας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Κυρ Δεκ 01, 2013 11:46 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Καλημέρα σε όλους και Καλό μήνα!
Σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε με αυτή την άσκηση
και δώσατε τόσο ωραίες και πρωτότυπες λύσεις.
Γιώργος
Σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε με αυτή την άσκηση
και δώσατε τόσο ωραίες και πρωτότυπες λύσεις.
Γιώργος
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Για λόγους πληρότητας να παρατηρήσω ότι έχουμε μελετήσει αυτό το σχήμα στη συλλογή ασκήσεων στο τετράγωνο. Η πρόταση είναι ισοδύναμη με αυτές που απέδειξαν εκεί οι Γνωστοί Στάθης και Μπαλόγλου, και με την εξής: ο κύκλος εφάπτεται στην
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Πράγματι Κώστα το σχήμα έχει μελετηθεί. Είναι η άσκηση 158 από εδώ (τελευταία σελίδα (37)), δική σου πρόταση με την οποία "έκλεισε η πόρτα" της καταπληκτικής εκείνης συλλογής, από εμένα και τον Γιώργο.rek2 έγραψε:Για λόγους πληρότητας να παρατηρήσω ότι έχουμε μελετήσει αυτό το σχήμα στη συλλογή ασκήσεων στο τετράγωνο. Η πρόταση είναι ισοδύναμη με αυτές που απέδειξαν εκεί οι Γνωστοί Στάθης και Μπαλόγλου, και με την εξής: ο κύκλος εφάπτεται στην
Να είσαι πάντα καλά, όπου και αν βρίσκεσαι.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Η λύση αυτή είναι αφιερωμένη στον φίλτατο ΜΕΓΙΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ (εγώ συνηθίζω να τον λέω ΔΙΆΝΟΙΑ) Κώστα Ρεκούμη (rek,ή rek2) Έστω το σημείο τομής της στο καθέτου προς την με την και ας είναι και . Τότε το τρίγωνοgeorge visvikis έγραψε: Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε να ισχύει . Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία , να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
είναι ορθογώνιο ισοσκελές ( ύψος και διχοτόμος) και με .
Με .
Από την προκύπτει ότι στα όμοια ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα τα τμήματα είναι ομόλογα οπότε θα σχηματίζουν ίσες γωνίες
με τις ομόλογες πλευρές τους, δηλαδή
εγγράψιμα και συνεπώς ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Θεωρούμε και
Παρατηρούμε:
που οδηγεί στο ότι
Εδώ θεωρώ ότι επί της ουσίας τελειώσαμε.
Παρατηρούμε:
που οδηγεί στο ότι
Εδώ θεωρώ ότι επί της ουσίας τελειώσαμε.
- Συνημμένα
-
- aaaa.ggb.png (16.11 KiB) Προβλήθηκε 1314 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Βέβαια, είναι ένα θέμα ( για μένα τουλάχιστον ) το να μπορείς να παρατηρήσεις κάτι τέτοιο.S.E.Louridas έγραψε:Παρατηρούμε:
Από
Από
Κώστας Βήττας.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Κατ’ αρχάς Κώστα σε ευχαριστώ.
Απλά θεώρησα ότι οι Μαθητές μπορούν να κάνουν παραγοντοποίηση κατά ομάδες και δίνοντας το στίγμα «ξεκίνημα – τελείωμα» τους άφησα να κάνουν τις ελάχιστες ενδιάμεσες πράξεις, τοποθετώντας προφανώς ρητορικά πρίν το ρήμα «Παρατηρούμε».
Η μέθοδος επίλυσης εδώ στηρίχτηκε σε δύο κινήσεις κλειδιά, η πρώτη να προεκταθεί η πλευρά κατά τμήμα , ώστε να γίνει μεταφορά του τριγώνου χρησιμοποιώντας το τετράγωνο και άρα να δημιουργηθεί ισότητα και η δεύτερη να ληφθεί συγκεκριμένο σημείο τομής τών ( δηλαδή το σημείο που ονομάσαμε ) και να ταυτισθεί με το σημείο . Ας δούμε όμως και το Finale της άσκησης μετά την εκφώνηση, το quote με τον κύριο κορμό της λύσης και την φράση ...εδώ επί της ουσίας τελειώσαμε..., ώστε πλέον να δούν την λύση της άσκησης και κύρια οι Μαθητές ολοκληρωμένη.
Απλά θεώρησα ότι οι Μαθητές μπορούν να κάνουν παραγοντοποίηση κατά ομάδες και δίνοντας το στίγμα «ξεκίνημα – τελείωμα» τους άφησα να κάνουν τις ελάχιστες ενδιάμεσες πράξεις, τοποθετώντας προφανώς ρητορικά πρίν το ρήμα «Παρατηρούμε».
Η μέθοδος επίλυσης εδώ στηρίχτηκε σε δύο κινήσεις κλειδιά, η πρώτη να προεκταθεί η πλευρά κατά τμήμα , ώστε να γίνει μεταφορά του τριγώνου χρησιμοποιώντας το τετράγωνο και άρα να δημιουργηθεί ισότητα και η δεύτερη να ληφθεί συγκεκριμένο σημείο τομής τών ( δηλαδή το σημείο που ονομάσαμε ) και να ταυτισθεί με το σημείο . Ας δούμε όμως και το Finale της άσκησης μετά την εκφώνηση, το quote με τον κύριο κορμό της λύσης και την φράση ...εδώ επί της ουσίας τελειώσαμε..., ώστε πλέον να δούν την λύση της άσκησης και κύρια οι Μαθητές ολοκληρωμένη.
george visvikis έγραψε: Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε να ισχύει .
Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία , να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Και τελειώσαμε καθότι το τετράπλευρο είναι πλέον εγγράψιμο, επομένως αρκεί και το τετράπλευρο να βγει εγγράψιμμο. Από τις προηγούμενες εγγραψιμότητες έχουμε από τα όμοια τρίγωνα .S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε και
Παρατηρούμε:
που οδηγεί στο ότι
Εδώ θεωρώ ότι επί της ουσίας τελειώσαμε.
- Συνημμένα
-
- aaaa.ggb.png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 1200 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από τη Ρωσία με αγάπη
Θέλοντας να αναφερθώ στην οξυδέρκεια του ΤΕΡΑΣΤΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΑΣ Σωτήρη Λουρίδα που μας κάνει περήφανους για τηνgeorge visvikis έγραψε: Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε να ισχύει . Αν τα τμήματα τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία , να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Ελληνική Μαθηματική Παιδεία στο Παγκόσμιο στερέωμα με το μεγάλο του εκτόπισμα να του αφιερώσω ταπεινά μια ακόμα προσέγγιση του προβλήματος. Έστω το μέσο της και προφανώς το μέσο (και) της οπότε:
εγγράψιμο οπότε:
και εγγράψιμο άρα
. Από ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Με απέραντη εκτίμηση
Ο φίλος σου
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης