Κοινή εφαπτομένη
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Κοινή εφαπτομένη
Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: Κοινή εφαπτομένη
εδώ , καταλήγω στην εξίσωση :
, όπου σημείο της γραφικής παράστασης της .
Αυτή εύκολα με Bolzano βρίσκουμε ότι έχει δύο λύσεις από μία στα διαστήματα και ...
Ακολουθώντας την τεχνοτροπία του Θάνου , όπου σημείο της γραφικής παράστασης της .
Αυτή εύκολα με Bolzano βρίσκουμε ότι έχει δύο λύσεις από μία στα διαστήματα και ...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Κοινή εφαπτομένη
Θα δείξω ότι υπάρχει κοινή εφαπτομένη και μάλιστα θα το πάω πιο πέρα και θα αποδείξω ότι υπάρχουν ακριβώς δυοexdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Έστω σημείο της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης οπότε η εφαπτόμενη της
στο έχει εξίσωση ,
και αν σημείο της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης οπότε η εφαπτόμενη της στο
έχει εξίσωση .
Θα δείξω ότι υπάρχουν και ώστε:
.
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει ρίζα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο
(πράξεις με παραγωγίσιμες) με και .
Εύκολα βρίσκουμε ότι για γνησίως αύξουσα στο και για
γνησίως φθίνουσα στο , άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το
. Επίσης είναι
έχει ρίζα στο και μάλιστα μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.
Επίσης
έχει ρίζα στο
η οποία μάλιστα είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.
Τελικά οι γραφικές παραστάσεις των έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.
Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Νοέμ 04, 2013 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Κοινή εφαπτομένη
Ευκαιρίας δοθείσης , ας δώσουμε τροφή για προβληματισμό . Διατυπώνω τον εξής ( γεωμετρικά προφανή ) ισχυρισμό :
Δύο συναρτήσεις , από τις οποίες η μία είναι κοίλη και η άλλη κυρτή , έχουν το πολύ δύο κοινές εφαπτόμενες .
( Ας δεχθούμε χάριν απλότητας το σχολικό ορισμό της κυρτότητας )
Δύο συναρτήσεις , από τις οποίες η μία είναι κοίλη και η άλλη κυρτή , έχουν το πολύ δύο κοινές εφαπτόμενες .
( Ας δεχθούμε χάριν απλότητας το σχολικό ορισμό της κυρτότητας )
-
- Δημοσιεύσεις: 371
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
- Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας
Re: Κοινή εφαπτομένη
Χαιρετώ μετά από καιρό την εκλεκτή παρέα τουΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:...
Θα δείξω ότι υπάρχουν και ώστε:
...
Στάθης
Νομίζω ότι πρέπει να συμπληρώσουμε κάτι στην εξαιρετική προσέγγιση του φίλου Στάθη
Για να αληθεύει η δεύτερη από τις εξισώσεις του συστήματος, θα πρέπει . Επειδή είναι , η μοναδική ρίζα (2η) θα είναι στο διάστημα
. Τώρα είμαστε σίγουροι ότι το σύστημα έχει δύο ζεύγη λύσεων, άρα τα γραφήματα ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.
Φιλικά
Θωμάς
Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κοινή εφαπτομένη
Καλημέρα.
Εμένα ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με την ερώτηση της άσκησης.
Λέει:
Θα μπορούσε να είναι και ο προβληματισμός ενός μαθητή που παρακολουθεί.
Θα αρκούσε να δείξω απλά πως το σύστημα που βγαίνει έχει μία τουλάχιστον λύση;
Ραντεβού το μεσημέρι.
Εμένα ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με την ερώτηση της άσκησης.
Λέει:
Γιατί εμείς πρέπει να δείξουμε πως έχει ακριβώς δύο κοινές εφαπτομένες;exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Θα μπορούσε να είναι και ο προβληματισμός ενός μαθητή που παρακολουθεί.
Θα αρκούσε να δείξω απλά πως το σύστημα που βγαίνει έχει μία τουλάχιστον λύση;
Ραντεβού το μεσημέρι.
Χρήστος Κυριαζής
-
- Δημοσιεύσεις: 371
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
- Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας
Re: Κοινή εφαπτομένη
Καλημέρα ...
Εγώ είχα διατυπώσει στο παρελθόν το θέμα στο μάθημα, ως εξής :
"Να δείξετε ότι τα γραφήματα των και έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες"
Επειδή ο φίλος Στάθης ουσιαστικά αυτό το θέμα έλυσε, έκανα την παρατήρηση που έκανα, πάντα και προφανώς καλοπροαίρετα, για να έχει πραγματικά δύο λύσεις το σύστημα που προκύπτει από την απαίτηση ταύτισης των δύο εφαπτόμενων...
Όσον αφορά την αρχική διατύπωση του θέματος,
Φιλικότατα
Θωμάς
Εγώ είχα διατυπώσει στο παρελθόν το θέμα στο μάθημα, ως εξής :
"Να δείξετε ότι τα γραφήματα των και έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες"
Επειδή ο φίλος Στάθης ουσιαστικά αυτό το θέμα έλυσε, έκανα την παρατήρηση που έκανα, πάντα και προφανώς καλοπροαίρετα, για να έχει πραγματικά δύο λύσεις το σύστημα που προκύπτει από την απαίτηση ταύτισης των δύο εφαπτόμενων...
Όσον αφορά την αρχική διατύπωση του θέματος,
συμφωνώ φυσικά Χρήστο, ότι θα αρκούσε το σύστημα να έχει μία τουλάχιστον λύση, ώστε να δέχονται μία τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη. Και σε αυτή όμως την περίπτωση, νομίζω ότι θα έπρεπε για λόγους ορισμού των εξισώσεων να ίσχυε , διαφορετικά δεν θα είχε νόημα το σύστημα, αφού η 2η εξίσωσή του θα ήταν αδύνατη...exdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Φιλικότατα
Θωμάς
Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Re: Κοινή εφαπτομένη
Καλησπέρα, πώς μπορεί να αποδειχθεί ότι οι κοινές εφαπτόμενες ευθείες είναι το πολύ δύο με θεώρημα Rolle?ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 02, 2013 10:46 pmΘα δείξω ότι υπάρχει κοινή εφαπτομένη και μάλιστα θα το πάω πιο πέρα και θα αποδείξω ότι υπάρχουν ακριβώς δυοexdx έγραψε:Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των : , έχουν κοινή εφαπτομένη .
Edit : διαγράφηκε η λέξη ''μοναδική"
Έστω σημείο της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης οπότε η εφαπτόμενη της
στο έχει εξίσωση ,
και αν σημείο της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης οπότε η εφαπτόμενη της στο
έχει εξίσωση .
Θα δείξω ότι υπάρχουν και ώστε:
.
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει ρίζα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο
(πράξεις με παραγωγίσιμες) με και .
Εύκολα βρίσκουμε ότι για γνησίως αύξουσα στο και για
γνησίως φθίνουσα στο , άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το
. Επίσης είναι
έχει ρίζα στο και μάλιστα μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.
Επίσης
έχει ρίζα στο
η οποία μάλιστα είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό.
Τελικά οι γραφικές παραστάσεις των έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.
Στάθης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες