Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Άριστη η ιδέα και συμμετέχω μετα χαράς προτείνοντας το κλασσικό πρόβλημα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11
Ο μαθηματικός Διόφαντος διατύπωσε τον παρακάτω διάλογο πρόβλημα «Ευτυχισμένε Πυθαγόρα, Ελικώνιε απόγονε των Μουσών, πές μου σε παρακαλώ πόσοι φοιτούν στην σχολή σου;» Βεβαίως θα σου πώ Πολυκράτη. Οι μισοί ασχολούνται με τα ωραία μαθηματικά, το ένα τέταρτο εξάλλου καταπιάνεται με την έρευνα της αθάνατης φύσης, ενώ το ένα έβδομο παραμένει τελείως αμίλητο και σκέφτεται παραμύθια. Υπάρχουν ακόμα και τρεις γυναίκες από τις οποίες ξεχωρίζει η Θεανώ. Να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Πυθαγόρα.

[gauss1988]

Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 5

Μια βρύση , έστω , με σταθερή παροχή γεμίζει, από μόνη της, μια δεξαμενή σε ώρες.

Μια άλλη βρύση , έστω , κι αυτή σταθερής παροχής γεμίζει, από μόνη της, την ίδια δεξαμενή σε ώρες.

Ανοίγουμε την βρύση και μετά από ώρα ανοίγουμε και την βρύση .

Σε πόση συνολικά ώρα θα γεμίσει ή δεξαμενή ;

Νίκος

Έστω σε ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή, από την στιγμή που ανοίχτηκε η βρύση . Η βρύση θα ρίχνει νερό επί ώρες ενώ η βρύση θα ρίχνει νερό για ώρες, αφού την ανοίξαμε μια ώρα αργότερα.

Άρα θα έχουμε την εξίσωση:
ώρες, δηλαδή η δεξαμενή θα γεμίσει σε ώρες , δηλαδή σε μία ώρα και λεπτά.

Εξήγηση για την κατασκευή της εξίσωσης. Με την μέθοδο των τριών

Η βρύση γεμίζει σε ώρες μόνη της , δεξαμενή
Η ίδια βρύση σε ώρες, γεμίζει της δεξαμενής

Άρα . Το ίδιο και για την βρύση βρίσκουμε ότι σε ώρες θα γεμίσει το της δεξαμενής. Άρα και οι δύο μαζί, θα γεμίσουν το μέρος της δεξαμενής, δηλαδή όλη την δεξαμενή.

[Γιώργος Ρίζος]

Πολύ καλή η ιδέα του Παύλου!

Ένα "ρεαλιστικό πρόβλημα" της καθημερινής ζωής.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12

Ο Αντώνης αγοράζει κουτιά αναψυκτικό στη λιανική τους τιμή. Στο ταμείο του καταστήματος όμως βλέπει μία διαφήμιση προσφοράς στο συγκεκριμένο αναψυκτικό, η οποία φαίνεται στο σχήμα. Με τα ίδια χρήματα αγοράζει κουτιά επιπλέον. Ποια είναι η λιανική τιμή του αναψυκτικού;

22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 16631 φορές

[Γιώργος Ρίζος]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13


Σχεδιάζοντας ένα κτίριο ένας μηχανικός, βλέπει ότι οι διαστάσεις του δαπέδου μιας αίθουσας σχήματος ορθογωνίου διαφέρουν κατά . Αν η μεγαλύτερη διάσταση αυξηθεί κατά και η μικρότερη ελαττωθεί κατά , το εμβαδό του δαπέδου παραμένει το ίδιο. Να βρείτε τις διαστάσεις της αίθουσας και το εμβαδό της.

[Γιώργος Ρίζος]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14

Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις και . Αυξάνουμε τη μία του πλευρά κατά . Πόσο πρέπει να αυξηθεί η άλλη του πλευρά, ώστε το νέο ορθογώνιο να έχει εμβαδό διπλάσιο του πρώτου και οι πλευρές του να έχουν μήκη φυσικούς αριθμούς;

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[pana1333]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15

α)Ένα παντελόνι κοστίζει ευρώ με έκπτωση %. Πόσο ήταν η αρχική τιμή του παντελονιού;
β)Ένα παντελόνι κοστίζει ευρώ και το πληρώσαμε ευρώ. Πόσο τοις εκατό έκπτωση μας έκαναν;

[pana1333]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16

α)Το άθροισμα διαδοχικών αριθμών ισούται με . Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί;
β) Η διαφορά του γινομένου ενός φυσικου αριθμού με το προηγούμενο του και με τον επόμενο του ισούται με . Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

edit: εγινε διορθωση στο β)

[raf616]

Άριστη η ιδέα και συμμετέχω μετα χαράς προτείνοντας το κλασσικό πρόβλημα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11
Ο μαθηματικός Διόφαντος διατύπωσε τον παρακάτω διάλογο πρόβλημα «Ευτυχισμένε Πυθαγόρα, Ελικώνιε απόγονε των Μουσών, πές μου σε παρακαλώ πόσοι φοιτούν στην σχολή σου;» Βεβαίως θα σου πώ Πολυκράτη. Οι μισοί ασχολούνται με τα ωραία μαθηματικά, το ένα τέταρτο εξάλλου καταπιάνεται με την έρευνα της αθάνατης φύσης, ενώ το ένα έβδομο παραμένει τελείως αμίλητο και σκέφτεται παραμύθια. Υπάρχουν ακόμα και τρεις γυναίκες από τις οποίες ξεχωρίζει η Θεανώ. Να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Πυθαγόρα.

Ο τύπος προβλήματος είναι γνωστός, αλλά σαν πρόβλημα δεν το έχω ξαναδεί

Αν ο αριθμός των μαθητών, τότε αυτοί που ασχολούνται με τα μαθηματικα είναι , με τη φυσική , ενώ με τα παραμύθια . Έτσι σχηματίζουμε την εξίσωση:



Άρα, οι μαθητές είναι

[exdx]

Πρόβλημα 17

‘Ενας πατέρας είναι μεγαλύτερος κατά χρόνια από την κόρη του . Πριν από χρόνια η ηλικία του ήταν πενταπλάσια από αυτήν της κόρης του .
Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες ;

[T-Rex]

Πρόβλημα 17

‘Ενας πατέρας είναι μεγαλύτερος κατά χρόνια από την κόρη του . Πριν από χρόνια η ηλικία του ήταν πενταπλάσια από αυτήν της κόρης του .
Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες ;

Αν η ηλικία της κόρης τοτε η ηλικία του πατέρα είναι
Πριν από 3 χρόνια η ηλικία της κόρης ήταν και του πατέρα και ήταν πενταπλάσια από της κόρης του
άρα
και η ηλικία του μπαμπά είναι

[raf616]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15

α)Ένα παντελόνι κοστίζει ευρώ με έκπτωση %. Πόσο ήταν η αρχική τιμή του παντελονιού;
β)Ένα παντελόνι κοστίζει ευρώ και το πληρώσαμε ευρώ. Πόσο τοις εκατό έκπτωση μας έκαναν;

α) Αν η αρχική τιμή του παντελονιού, τότε:



Άρα, η αρχική τιμή του παντελονιού είναι ευρώ.

β) Αν η έκπτωση τότε:



Άρα, η έκτωση ήταν τοις εκατό.

[T-Rex]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16

α)Το άθροισμα διαδοχικών αριθμών ισούται με . Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί;
β) Η διαφορά του γινομένου ενός αριθμού με το προηγούμενο του και με τον επόμενο του ισούται με . Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

α) Εχουμε
και οι αριθμοί είναι
με άλλο τρόπο και οι αριθμοί είναι οι ίδιοι
β) δεν το καταλαβαίνω βγαίνει

[leftgavr]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7

Αν οι μαθητές μιας τάξης καθίσουν ανά δύο στα θρανία, τότε μένουν όρθιοι μαθητές. Αν όμως καθίσουν ανά τρεις,
τότε μένουν κενά θρανία. Πόσοι είναι οι μαθητές και πόσα τα θρανία;

(Να λυθεί με εξίσωση)

Αν το πλήθος των μαθητών της τάξης και το πλήθος των θρανίων τότε από την εκφώνηση ισχύει:



και



Από το προκύπτει

Άρα:




Οπότε:

[pana1333]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18

Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και το σημείο που ανήκει στην ευθεία . Αν το άθροισμα των συντεταγμένων του σημείου ισούται με να βρεθούν η τετμημένη και η τεταγμένη .

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19

Η Ευφροσύνη έχει ευρώ λιγότερα από τον Αναστάση. Ο Μανώλης έχει ευρώ περισσότερα από τον Αναστάση. Η Ευφροσύνη ξόδεψε το των χρημάτων της, ο Αναστάσης το των χρημάτων του και ο Μανώλης το των χρημάτων του. Τώρα και οι τρεις μαζί έχουν ευρώ. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας τους;

[raf616]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19

Η Ευφροσύνη έχει ευρώ λίγότερα από τον Αναστάση. Ο Μανώλης έχει ευρώ περισσότερα από τον Αναστάση. Η Ευφροσύνη ξόδεψε το των χρημάτων της, ο Αναστάσης το των χρημάτων του και ο Μανώλης το των χρημάτων του. Τώρα και οι τρεις μαζί έχουν ευρώ. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας τους;

Έστω ότι ο Αναστάσης έχει ευρώ. Τότε η Ευφροσύνη έχει ευρώ, ενώ ο Μανώλης ευρώ.

Αφού όμως ξόδεψαν ένα μέρος των χρημάτων, έχουν:

Ευφροσύνη:

Αναστάσης:

Μανώλης:

Επομένως, σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε:





Επομένως, ο Αναστάσης έχει ευρώ, η Ευφροσύνη ευρώ και ο Μανώλης ευρώ.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20

Η ηλικία του Αναστάση είναι τριπλάσια της ηλικίας της Ευφροσύνης. Ο Μανώλης είναι δύο χρόνια μεγαλύτερος από τον Αναστάση. Όταν η Ευφροσύνη θα έχει τη σημερινή ηλικία του Μανώλη τότε και οι τρεις μαζί θα έχουν άθροισμα ηλικιών 60 έτη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες;