ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης .
2. Μια περιοχή του επιπέδου περικλείεται από ημικύκλια ακτίνας cm όπως στο σχήμα. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της περιοχής αυτής.
3. Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει .
Να αποδειχτεί ότι .
4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
2. Μια περιοχή του επιπέδου περικλείεται από ημικύκλια ακτίνας cm όπως στο σχήμα. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της περιοχής αυτής.
3. Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει .
Να αποδειχτεί ότι .
4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
- Ch.Chortis
- Δημοσιεύσεις: 263
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
- Τοποθεσία: Ελλαδιστάν
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
parmenides51 έγραψε:
4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
Έχουμε:
Πρέπει:
Άρα λύσεις είναι οι:
τελευταία επεξεργασία από Ch.Chortis σε Σάβ Οκτ 06, 2012 9:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
- Ch.Chortis
- Δημοσιεύσεις: 263
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
- Τοποθεσία: Ελλαδιστάν
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Κάνοντας πράξεις βρίσκουμεparmenides51 έγραψε: 3. Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει .
Να αποδειχτεί ότι .
.
Όμως αφού:
(με την ισότητα να ισχύει,ταυτόχρονα,για όλες τις ανισότητες μόνο όταν )
προκύπτει οτι:
και με βάση την παραπάνω παρατήρηση,αναγκαστικά θα πρέπει να ισχύει:
"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
- Ch.Chortis
- Δημοσιεύσεις: 263
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
- Τοποθεσία: Ελλαδιστάν
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Πρέπειparmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης .
Θέτουμε:
και έχουμε:
Άρα ή:
ή
(άτοπο,λόγω αρνητικής διακρίνουσας).
"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Παραλείπω το σχήμα αλλά αν κόψουμε τα 3 ημικύκλια που εξέχουν και τα τοποθετήσουμε στις τρεις και τα τοποθετήσουμε στις άλλες τρεις θέσεις θα πάρουμε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς μήκους 2 με το ίδο εμβαδόν. Το εξάγωνο τώρα μπορούμε να το χωρίσουμε σε έξι ισόπλευρα τρίγωνο πλευρών μήκους 2. Κάθε ένα από αυτά έχει εμβαδόν και άρα το συνολικό εμβαδόν ισούται μεparmenides51 έγραψε:
2. Μια περιοχή του επιπέδου περικλείεται από ημικύκλια ακτίνας cm όπως στο σχήμα. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της περιοχής αυτής.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Χαρίλαε, επειδή το κοκκινισμένο είναι μόνο «πρέπει» και όχι «πρέπει και αρκεί» οφείλεις στο τέλος να ελέγξεις αν οι λύσεις σου ικανοποιούν το ζητούμενο.Ch.Chortis έγραψε:parmenides51 έγραψε:
4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
Έχουμε:
Πρέπει:
Άρα λύσεις είναι οι:
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
διαφορετικά εδώparmenides51 έγραψε:3. Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει .
Να αποδειχτεί ότι .
εδώparmenides51 έγραψε:4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Κάνοντας την διαίρεση πολυωνύμων έχουμε πωςparmenides51 έγραψε:4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό .
άρα
άρα
οπότε πρέπει το να διαιρεί το , οπότε .
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε κι επειδή δεκτή
οπότε
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Το κοίταγα πριν μέρες για να προετοιμάσω κάποια μαθήματα που κάνουμε στο σχολείο μας εν όψει του διαγωνισμού. Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί. Πως, άραγε, θα πείσουμε ένα ανήσυχο μαθητή ότι το σχήμα δεν είναι λ.χ. το παρακάτω;parmenides51 έγραψε:...
2. Μια περιοχή του επιπέδου περικλείεται από ημικύκλια ακτίνας cm όπως στο σχήμα.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Νίκο το σχήμα της 2ης Άσκησης όπως δόθηκε στον Θαλή τότε έχει τρείς άξονες συμμετρίας που αποτελούν δέσμη ευθειών και που δημιουργούν εξι γωνίες των .
Ναι πράγματι το θεωρητικό «ψάξιμο» όπως το έθεσες είναι υπαρκτό καθότι ο θεματολόγος θα έπρεπε να αναφέρει για τους άξονες συμμετρίας ή κάτι ισοδύναμο και όχι να στηριχτεί στην οπτική αντίληψη του πράγματος (αν και το σχήμα είναι οπτικά ακριβές) από τον διαγωνιζόμενο (στην Α΄ Λυκείου μιλάμε πλέον για θεωρητική Γεωμετρία).
Ναι πράγματι το θεωρητικό «ψάξιμο» όπως το έθεσες είναι υπαρκτό καθότι ο θεματολόγος θα έπρεπε να αναφέρει για τους άξονες συμμετρίας ή κάτι ισοδύναμο και όχι να στηριχτεί στην οπτική αντίληψη του πράγματος (αν και το σχήμα είναι οπτικά ακριβές) από τον διαγωνιζόμενο (στην Α΄ Λυκείου μιλάμε πλέον για θεωρητική Γεωμετρία).
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σωτήρη καταλαβαίνω τι εννοείς.
Επίσης αντιλαμβάνομαι ότι η πείρα που έχεις με τον διαγωνισμό σου επιτρέπει να ξέρεις πως θα "λειτουργήσουν" οι μαθητές και ότι είναι αναμενόμενο να εργασθούν παίρνοντας τις συμμετρίες που αναφέρεις ως δεδομένες και να προχωρήσουν στην απάντηση.
Απλώς δεν έχω να πω τίποτε σε ένα μαθητή που θα πει: "Αφού δεν αναφέρεται ρητά ότι το εξάγωνο είναι κανονικό ή ότι υπάρχουν αυτές οι συμμετρίες δε μπορώ να τις υποθέσω".
Μαυρογιάννης
Επίσης αντιλαμβάνομαι ότι η πείρα που έχεις με τον διαγωνισμό σου επιτρέπει να ξέρεις πως θα "λειτουργήσουν" οι μαθητές και ότι είναι αναμενόμενο να εργασθούν παίρνοντας τις συμμετρίες που αναφέρεις ως δεδομένες και να προχωρήσουν στην απάντηση.
Απλώς δεν έχω να πω τίποτε σε ένα μαθητή που θα πει: "Αφού δεν αναφέρεται ρητά ότι το εξάγωνο είναι κανονικό ή ότι υπάρχουν αυτές οι συμμετρίες δε μπορώ να τις υποθέσω".
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Νίκο αυτό ακριβώς είπα λίγο πρίν εμμέσως πλην σαφώς:nsmavrogiannis έγραψε:Σωτήρη καταλαβαίνω τι εννοείς.
Επίσης αντιλαμβάνομαι ότι η πείρα που έχεις με τον διαγωνισμό σου επιτρέπει να ξέρεις πως θα "λειτουργήσουν" οι μαθητές και ότι είναι αναμενόμενο να εργασθούν παίρνοντας τις συμμετρίες που αναφέρεις ως δεδομένες και να προχωρήσουν στην απάντηση.
Απλώς δεν έχω να πω τίποτε σε ένα μαθητή που θα πει: "Αφού δεν αναφέρεται ρητά ότι το εξάγωνο είναι κανονικό ή ότι υπάρχουν αυτές οι συμμετρίες δε μπορώ να τις υποθέσω".
Μαυρογιάννης
Ναι στην περίπτωση αυτή συμφωνώ απόλυτα με αυτόν τον Μαθητή από την στιγμή που είναι στην Α΄ Λυκείου, δηλαδή από την στιγμή που κινήται πλέον στο περιβάλλον της Θεωρητικής Γεωμετρίας.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες