Λογάριθμοι

Tolaso J Kos · #1

Αν $0<\theta \neq 1$ να δείξετε ότι:
$\displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{log_2\theta }+ \frac{1}{log_3\theta }+...+\frac{1}{log_\nu \theta }} = log_{\nu !}\theta }$
όπου $\nu$ ακέραιος με $\nu \geq 2$ .

#2

Ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας γιατί είναι απλή αλλά διδακτική. Ευχαριστώ.

Tolaso J Kos · #3

Όπως επιθυμείτε!

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2013 5:45 pm
Ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας γιατί είναι απλή αλλά διδακτική. Ευχαριστώ.

Επαναφορά!
Πρώτα για μαθητές...

fogsteel · #5

Με βάση την ιδιότητα $\displaystyle{\log_{a}b = \frac{\ln b}{\ln a}}$ , για κάθε $\displaystyle{a, b > 0 }$ και $\displaystyle{a \neq 1}$ έχουμε :

$\displaystyle{\log_{2} \vartheta = \frac{\ln \vartheta }{\ln 2} \Leftrightarrow \frac{1}{\log_{2}\vartheta } = \frac{\ln 2}{\ln \vartheta }}$
Δουλέυουμε όμοια και με τους υπόλοιπους όρους και προκύπτει ότι : $\displaystyle{ x = \frac{1}{\log_{2}\vartheta} + \frac{1}{\log_{3}\vartheta} ... + \frac{1}{\log_{n}\vartheta} = \frac{\ln 2}{\ln \vartheta } + \frac{\ln 3}{\ln \vartheta } + ... + \frac{\ln n}{\ln \vartheta } = \frac{\ln n!}{ln \vartheta}}$ .
Άρα $\displaystyle{\frac{1}{x} = \frac{\ln \vartheta }{\ln n!} = \log_{n!}\vartheta}$ , που είναι το ζητούμενο.

Λογάριθμοι

Λογάριθμοι

Re: Λογάριθμοι

Re: Λογάριθμοι

Re: Λογάριθμοι

Re: Λογάριθμοι

Μέλη σε σύνδεση