Το Θεώρημα του Sondat!

Grigoris K. · #1

Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα του Sondat!

Broly · #2

Ανδρέας Πούλος · #3

Ενδιαφέρον θεώρημα.
Δείτε εδώ http://mathworld.wolfram.com/ParalogicTriangles.html.
Πώς θα μεταφράσουμε τον όρο paralogic τρίγωνο;
Υπάρχει ήδη δόκιμος όρος στα ελληνικά;

Ανδρέας Πούλος

#4

Νομίζω ότι το θεώρημα Sondat είναι άλλο. (*)

ΘΕΩΡΗΜΑ SONDAT. - Αν δύο ορθολογικά τρίγωνα είναι και προοπτικά, τότε τα ορθολογικά τους κέντρα και το σημείο προοπτικότητας, ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Δοσμένων δύο τριγώνων $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C',$ εάν οι δια των $A,\ B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $B'C',\ A'C',\ A'B'$ αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω

, αποδεικνύεται με βάση το θεώρημα Carnot, ότι και οι δια των $A',\ B',\ C'$ κάθετες ευθείες επί των $BC,\ AC,\ AB$ αντίστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω

Τα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C'$ , ονομάζονται Ορθολογικά τρίγωνα ( = Orthologic triangles ) και τα σημεία $P,\ Q,$ είναι τα ορθολογικά τους κέντρα ( = Orthologic centers ), του ενός τριγώνου ως προς το άλλο ( Το

για παράδειγμα, είναι το ορθολογικό κέντρο του $\vartriangle ABC$ ως προς το $\vartriangle A'B'C'$ ).

Είναι δυνατόν ( εύκολη κατασκευή ), τα δύο ως άνω ορθολογικά τρίγωνα να είναι ταυτόχρονα και προοπτικά, με κέντρο προοπτικότητας το σημείο έστω

, το οποίο σύμφωνα με το θεώρημα Sontat, ανήκει τότε στην ευθεία PQ.

Κώστας Βήττας.

(*) Είδα σήμερα το απόγευμα στο google ( Δείτε Εδώ ), ότι υπάρχει επίσης ως θεώρημα Sondat, αυτό που σχετίζεται με τα paralogic triangles που αναφέρει ο Ανδρέας πιο πάνω και το οποίο δεν γνώριζα.

#5

vittasko έγραψε:Είναι δυνατόν ( εύκολη κατασκευή ), τα δύο ως άνω ορθολογικά τρίγωνα να είναι ταυτόχρονα και προοπτικά, με κέντρο προοπτικότητας το σημείο έστω , το οποίο σύμφωνα με το θεώρημα Sontat, ανήκει τότε στην ευθεία

: Θεώρημα Sondat - Κατασκευή του σχήματος.; f=112_t=37605.PNG (23.84 KiB) Προβλήθηκε 2638 φορές

Στο εσωτερικό μέρος δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC,$ θεωρούμε τυχόν σημείο έστω

και ας είναι A',

τυχόν σημείο στην προέκταση του

προς το μέρος του

Από το

φέρνουμε την κάθετη ευθεία επί την

και ας είναι

τυχόν σημείο αυτής της ευθείας.

Από το σημείο

φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των $AC,\ AB,$ οι οποίες τέμνουν τις ευθείες $BT,\ CT,$ στα σημεία $B',\ C',$ αντιστοίχως.

Σύμφωνα με το Θεώρημα Carnot, οι δια των σημείων $A,\ B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $B'C',\ A'C',\ A'B'$ αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω

Τα σημεία $P,\ T,\ Q$ είναι συνευεθειακά, κατά το Θεώρημα Sondat.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η ευθεία PTQ

είναι κάθετη στον άξονα προοπτικότητας των τριγώνων $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C'.$

ΣΧΟΛΙΟ. - Έχει τύχει να ασχοληθώ παλιότερα με μία ειδική περίπτωση αυτού του θεωρήματος, όπου με βάσεις τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC,$ κατασκευάζονται τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle A'BC,\ \vartriangle B'AC,\ \vartriangle C'AB,$ προς το εξωτερικό ή το το εσωτερικό μέρος του $\vartriangle ABC$ και έστω $A'',\ B'',\ C'',$ τα ορθόκεντρα αυτών των τριγώνων αντιστοίχως.

Λαμβανόμενα ανά δύο τα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C',\ \vartriangle A''B''C'',$ αποδεικνύεται ότι είναι μεταξύ τους ορθολογικά και ταυτόχρονα προοπτικά, καθώς επίσης ότι τα ορθολογικά τους κέντρα και το σημείο προοπτικότητας είναι συνευθειακά.

Με τον υπολογιστή είχα διαπιστώσει ότι το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και στην γενική περίπτωση ορθολογικών και ταυτόχρονα προοπτικών τριγώνων, χωρίς να γνωρίζω τότε ( 2005) ότι είναι γνωστό ως Θεώρημα Sondat.

Ο αγαπητός μου φίλος Νίκος Δεργιαδές, με πληροφόρησε για την ύπαρξη αυτού του θεωρήματος και με παρέπεμψε σε μία παλιότερη συζήτηση που είχε γίνει στο mathlinks.ro φόρουμ ( Δείτε Εδώ και αρκετές άλλες παραπομπές μέσω της ''αναζήτησης", ελληνιστί search, στο ίδιο φόρουμ ).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Προσωπικά δεν έχω καταφέρει κάποια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αν και το προσπάθησα αρκετά τότε και θα χαρώ ιδιαίτερα αν βρεθεί εδώ στο

μία συνθετική λύση, προσιτή στον μέσο αναγνώστη.

min## · #6

Μια σύντομη λύση για το δυσκολούτσικο αυτό πρόβλημα με Προβολική:
Παίρνω το ομοιόθετο του A'B'C'

με κέντρο

και λόγο

.
Καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος

,το

παραμένει σταθερό (ομοιοθεσία),το

επίσης (προφανές) και το

κινείται.Ονομάζω $J_{A},J_{B},J_{C}$ τα σημεία στο άπειρο με προσανατολισμό κάθετο στις BC,CA,AB

αντίστοιχα.Τότε οι δέσμες $J_{A}(A'),J_{B}(B'),J_{C}(C')$ (εκτός παρένθεσης τα κέντρα)τέμνονται στο

.Καθώς μεταβάλλεται το

,οι $J_{A}(A'),J_{B}(B')$ είναι προβολικές (ίσοι λόγοι από Θαλή--->ίσοι διπλοί λόγοι για τις σημειοσειρές των A',B'

.)
Για $k\equiv \infty$ οι $J_{A}(A'),J_{B}(B')$ γίνονται η ευθεία στο άπειρο (αφού θα έχουν 2 διαφορετικά σημεία στο άπειρο) και άρα ταυτίζονται και ταυτίζονται με την $J_{A}J_{B}$ .
Έτσι οι $J_{A}(A'),J_{B}(B')$ είναι προοπτικές καθώς η ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους είναι κοινή ακτίνα.
Αυτό σημαίνει πως το

κινείται σε ευθεία.Για $k\equiv 0$ είναι $Q\equiv T$ ,δηλαδή η ευθεία περνάει από το

.Θέλω να δείξω πως περνάει και από το

.Για αυτό παίρνω

ώστε $A'\equiv A$ και έτσι μειώνω τα σημεία κατά ένα.Στο νέο σχήμα το σημείο

θα βρίσκεται στο ύψος

του

.
Για να δείξω το ζητούμενο,παίρνω σημείο

στην

από όπου φέρνω την κάθετη στην

,η οποία τέμνει το ύψος σε σημείο

.
Από το

φέρνω την κάθετη στην

η οποία τέμνει την

στο

.
Καθώς θα κουνάω το

,θα κουνιέται και το

προβολικά σε σχέση με το

(προβολή ως προς το $J_{B}$ ).Το ίδιο θα ισχύει και για το

(προβολή του

από το $J_{C})$ .

Άρα αφού A(B'),C(P)

προβολικές (κάθετες ακτίνες), A(C'),B(P)

προβολικές (ομοίως) και A(B'),A(C')

προβολικές (παραπάνω παράγραφος) θα είναι και B(P),C(P)

προβολικές.
Συνεπώς το

κινείται πάνω σε κωνική που περνάει από τα B,C

.
Με απλό έλεγχο η κωνική αυτή περιέχει και τα T,A

.Αφού τα

διαγράφουν ίσους διπλούς λόγους (σε κωνική και ευθεία αντίστοιχα-από τα παραπάνω) και ταυτίζονται για 2 θέσεις του

(σε

,ορθόκεντρο αντίστοιχα) η προβολική σχέση που τα συνδέει είναι προβολή από σημείο της κωνικής ( παρόμοιο επιχείρημα εδώ viewtopic.php?f=181&t=64357&p=311293&hi ... κή#p311293) .Εγώ θέλω τα P,Q,T

συνευθειακά.Όμως από την παραπάνω πρόταση οι

περνούν από σταθερό σημείο στην κωνική το οποίο δείχνεται απλά πως είναι το

(παίρνοντας πχ. $B'\equiv T$ )..

#7

Καλημέρα, στον Κώστα, στον Ανδρέα και στους άλλους του διαλόγου αυτού.

Είναι η ώρα 4 και κάτι το πρωί... κι εγώ μπροστά στον υπολογιστή...

Για το θεώρημα αυτό βρήκα, ψάχνοντας στο google.fr, το ακόλουθο άρθρο του
Jean - Louis AYME με τον ακόλουθο τίτλο:

"LE THÉORÈME DE SONDAT, UNE PREUVE SIMPLE ET PUREMENT SYNTHÉTIQUE"

Είναι μια εργασία γραμμένη σε 21 σελίδες, δεν τις διάβασα αναλυτικά, όμως την έτρεξα και είδα ότι έχει,
όπως λέει και ο τίτλος της, μια απόδειξη του θεωρήματος αυτού, απλή και καθαρά συνθετική.
Στηρίζεται σε δυο λήμματα και αποτελείται από το λεγόμενο "Μικρό θεώρημα του Sondat"και το "Θεώρημα του Sondat".

Ακόμα το άρθρο αυτό έχει και μια μικρή ιστορική αναφορά στην οποία διαβάζουμε ότι το θεώρημα αυτό το δημοσίευσε ο
καθηγητής Pierre Sondat της γραφικής πόλης Annency της Γαλλίας (νοτιότερα της Γενεύης) το έτος 1894 στο περιοδικό:
"L`intermédiaire des mathématiciens".

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... Sondat.pdf

Κώστας Δόρτσιος

#8

Αγαπητοί φίλοι, προ ημερών είδα τυχαία την παραπάνω συζήτησή σας, η οποία μου θύμισε πολύ παλαιότερες δικές μου σχετικές επινοήσεις και απλά έκρινα ότι θα ήταν εποικοδομητικό, για την συζήτηση αυτή, αν τις υπενθύμιζα.
Συγκεκριμένα:
Το επινόησα και απέδειξα το πολύ σημαντικό (έχει πολλές εφαρμογές) Θεώρημα $2\alpha \left (8)$ , το οποίο το δημοσίευσα μαζί με το σχετικό Πρόβλημα $2\alpha \left ( 9) \right )$ , στο τεύχος του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» (ΝΣΓ) και το οποίο Θεώρημα έχει ως εξής:
$2\alpha \left (8 )$ . «Κάθε ζεύγος Ορθολογικών τριγώνων, στα οποία συμπίπτουν τα δύο ορθοπολικά τους σημεία, είναι και ομολογικά (τρίγωνα)».

Επίσης το , επινόησα και απέδειξα με βάση το Θεώρημα $2\alpha \left (8)$ , το γοητευτικό Θεώρημα $2\delta \left ( 1 \right )$ , το οποίο το δημοσίευσα στο τεύχος του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» (ΝΣΓ) και το οποίο έχει ως εξής:
$2\delta \left ( 1 \right )$ . «Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα είναι και ομολογικά (τρίγωνα)».
(Τα δύο παραπάνω θεωρήματα αποτελούν πρόκληση για όσους θέλουν να ασχοληθούν με την απόδειξή τους).

Το απέδειξα τα Θεωρήματα Kariya και Gergonne, ως ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω Γενικού θεωρήματος $2\delta \left ( 1 \right )$ και τα οποία δημοσίευσα με το τεύχος / του βιβλίου ΝΣΓ, στις παραγράφους $2\beta \left ( 2 \right )$ και $2\beta \left ( 1 \right )$ αντίστοιχα.

Επίσης το , με όλα τα παραπάνω θεωρήματα-κατασκευές και όχι μόνο, δημιούργησα ένα σημαντικό άρθρο, το οποίο δημοσιεύτηκε στο τεύχος / του περιοδικού «Μαθηματική Παιδεία» του αείμνηστου Χάρη Βαφειάδη (Σελίδα ).

Το επινόησα, απέδειξα με βάση το Θεώρημα $2\alpha \left (8)$ , την Πρόταση $4\eta \left ( 98 \right )$ και την δημοσίευσα στο τεύχος / του βιβλίου μου ΝΣΓ.

Μέχρις το , το παραπάνω Θεώρημα Sondat δεν το είχα υπόψη μου, οπότε ο Κώστας Βήττας μου δώρισε ένα όμορφο φυλλάδιό του με επίλεκτες εργασίες του, ενώ στην τελευταία σελίδα του έχει μια Πρόταση-πρόκληση, η οποία από ότι παρατηρώ συμπίπτει με το Θεώρημα Sondat. Όπως ο ίδιος παραπάνω αναφέρει δεν είχε τότε υπόψη του το Θεώρημα Sondat, αλλά ήταν μια εικασία του.

Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
Νίκος Κυριαζής

ΥΓ
Κώστα (Βήττα), είσαι ο μόνος που μπορεί να βρει όλες μου τις παραπομπές, που αναφέρονται παραπάνω, καθώς εσύ έχεις όλα τα βιβλία και άρθρα μου.

min## · #9

Αυτή η πρόταση

«Κάθε ζεύγος Ορθολογικών τριγώνων, στα οποία συμπίπτουν τα δύο ορθοπολικά τους σημεία, είναι και ομολογικά (τρίγωνα)»

αποδεικνύεται και με τη χρήση αυτής

Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα είναι και ομολογικά (τρίγωνα)

.
Πράγματι,έστω ABC,A'B'C'

τα 2 ορθολογικά τρίγωνα και έστω

το κοινό κέντρο ορθολογικότητας.Το κλειδί είναι ότι μπορούμε να πάρουμε αντιστροφή κύκλου με κέντρο το

και πιθανώς μιγαδική ακτίνα ώστε το αντίστροφο του

να βρίσκεται πάνω στην B'C'

.
Έπειτα,από La Hire

και λόγω των καθετοτήτων αναγόμαστε στη δεύτερη πρόταση.
Για τη δεύτερη έχω μια λύση την οποία θα παραθέσω κάποτε μιας και μου άρεσε η ιδέα.

Υγ. Τη 2η εκ των 2 τη γνώρισα από τη διεθνή βιβλιογραφία ως θεώρημα Chasles

,ενώ την πρώτη τη συνάντησα ως ειδική περίπτωση του θεωρήματος
Sondat

.(παρότι επί της ουσίας δεν είναι).

#10

Φίλε min##,

Σε ευχαριστώ πολύ για τις πληροφορίες που μας έδωσες και για την απόδειξή σου, αν και εγώ προτιμώ λεπτομερείς αποδείξεις βασισμένες, αν είναι δυνατό, στην στοιχειώδη γεωμετρία, ώστε να γίνονται κατανοητές και από μαθητές που μας παρακολουθούν.

Επειδή κρατάω χρονολογίες για πρωτοεμφανιζόμενα θεωρήματα κτλ, παρακαλώ σημείωσέ μας εδώ, αν γνωρίζεις, την χρονολογία που φέρει το διεθνές δημοσίευμα που έχεις δει το παραπάνω Θεώρημα $2\alpha \left ( 8 \right )$ .

Νίκος Κυριαζής

Το Θεώρημα του Sondat!

Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Μέλη σε σύνδεση