Συλλογή Ασκήσεων

Ιστοσελίδα · #201

sidchris έγραψε:Άσκηση 117η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\parallel \Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{{\rm E}{\rm B} = {\rm E}\Gamma }$ . Αν $\displaystyle{{\rm Z}}$ μέσο του $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ να βρεθεί η $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}.$

Χριστός Ανέστη.

: Άσκηση-117η.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 2805 φορές

1η λύση: Από αντίστροφο Πυθαγορείου στο $\triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm E}$ προκύπτει (λόγω της παραλληλίας των ${\rm A}{\rm B},\,\Delta \Gamma$ ) το ορθογώνιο $\triangleleft \Delta \Gamma {\rm E}$ , άρα από Π.Θ. $\Delta \Gamma = 7$ . Από Π.Θ. στο ορθογώνιο $\triangleleft {\rm K}\Gamma {\rm B}:\,{\rm B}\Gamma = 20\sqrt 5$ , συνεπώς ${\rm Z}\Gamma = 10\sqrt 5$ . Από Π.Θ. στο ορθογώνιο $\triangleleft {\rm E}{\rm Z}\Gamma$ (η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος) $x = {\rm E}{\rm Z} = 5\sqrt 5$ .

2η λύση: Το ${\rm A}\Delta \Gamma {\rm B}$ είναι δισορθογώνιο τραπέζιο με $({\rm A}\Delta \Gamma {\rm B}) = \displaystyle\frac{{44(7 + 15)}}{2} = 484$ . Είναι $({\rm A}{\rm B}{\rm E}) = \displaystyle\frac{{15 \cdot 20}}{2} = 150$ , $(\Delta \Gamma {\rm E}) = \displaystyle\frac{{7 \cdot 24}}{2} = 84$ , άρα $({\rm E}{\rm B}\Gamma ) = 250$ . Υπολογίζουμε με Π.Θ. τη ${\rm B}\Gamma = 20\sqrt 5$ , συνεπώς $x = {\rm E}{\rm Z} = \displaystyle\frac{{2({\rm E}{\rm B}\Gamma )}}{{{\rm B}\Gamma }} = 5\sqrt 5$ .

sidchris · #202

Άσκηση 119η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta ,{\rm B}\Gamma }$

sidchris · #203

Άσκηση 120η
Στο παρακάτω σχήμα το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιο και $\displaystyle{{\rm A}{\rm E} = {\rm E}\Delta }$ .Να βρεθει το $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$

sidchris · #204

Άσκηση 121η
Στο παρακάτω σχήμα το $\displaystyle{\Delta }$ ειναι μεσο $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}$ και $\displaystyle{({\rm A}\Gamma \Delta {\rm E}) = 204}$ .Να βρεθεί το $\displaystyle{{\rm H}{\rm E}}$ , $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$

sidchris · #205

Άσκηση 122η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται οτι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = \sqrt 3 ,{\rm B}\Gamma = \sqrt 7 }$ και το τόξο $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ ειναι ${ 60^\circ }$ .Να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{\Gamma \Delta }$

sidchris · #206

Άσκηση 123η
Στο παρακάτω σχήμα να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \varphi \hat {\rm A},\varepsilon \varphi \hat {\rm B}}$ είναι αντίστροφοι αριθμοί

sidchris · #207

Άσκηση 124η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι οι γωνίες $\displaystyle{\hat \Gamma ,\hat \Delta }$ είναι συμπληρωματικές , το $\displaystyle{\varepsilon \varphi \hat \Gamma = \frac{4}{3}}$ και $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 18}$ .Να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$

sidchris · #208

Άσκηση 125η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{\eta \mu \hat \Gamma = \frac{3}{5}}$ και $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm O}) = 22}$ .Να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$

sidchris · #209

Άσκηση 126η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 2 }$ ,το τόξο $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι $\displaystyle{90^\circ }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Delta = 4\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$

sidchris · #210

Άσκηση 127η
Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ με γωνίες $\displaystyle{\hat {\rm A} = 3x + 15,\hat {\rm B} = 2x + 45,\hat \Gamma = 10x - 15,\hat \Delta = 6x}$ .Αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 10}$ και $\displaystyle{{\rm A}\Delta = 5 + 3\sqrt 3 }$ να βρεθεί η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$

sidchris · #211

Άσκηση 128η
Στο παρακάτω τραπέζιο δίνεται ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 8,{\rm A}\Delta = 2\sqrt 3 ,\Delta \Gamma = 2}$ .Να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm A}\hat \Gamma {\rm B}}$

sidchris · #212

Άσκηση 129η
Στο παρακάτω τετράγωνο να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}{\rm H}}$ είναι ορθογώνιο

raf616 · #213

sidchris έγραψε:Άσκηση 128η
Στο παρακάτω τραπέζιο δίνεται ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 8,{\rm A}\Delta = 2\sqrt 3 ,\Delta \Gamma = 2}$ .Να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm A}\hat \Gamma {\rm B}}$

Φέρνουμε τα τμήματα $A\Gamma$ και $\Gamma E$ όπως φαίνονται στο σχήμα.
Εξετάζουμε αν το $\bigtriangleup A \Gamma B$ είναι ορθογώνιο. Με Π.Θ στο $\bigtriangleup A \Delta \Gamma$ έχουμε:
$y^{2} = 2^{2} + (2\sqrt{3})^{2} \Leftrightarrow y^{2} = 16 \Leftrightarrow y = 4$

Επίσης με Π.Θ στο $\bigtriangleup A \Gamma \Delta$ έχουμε:
$x^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + 6^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 48 \Leftrightarrow x = \sqrt{48}$ .

Ισχύει το αμτίστροφο του Π.Θ και άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλ
$x^{2} + y^{2} = 48 + 16 = 64$ και $(AB)^{2} = 64$ .

Άρα, η $A \hat{\Gamma}B$ είναι $90^{o}$ .

orestisgotsis · #214

ΠΕΡΙΤΤΑ

sidchris · #215

Άσκηση 130η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat {\rm{B}} = \frac{4}{5}}$ και οτι $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ είναι εφαπτομένη στο ημικύκλιο. Να βρεθεί $\displaystyle{E \Gamma }$

sidchris · #216

Άσκηση 131η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 66}$ και $\displaystyle{\varepsilon \varphi {\rm A}\hat {\rm B}{\rm Z} = \frac{1}{3}}$ . Να δειχθεί οτι το $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z}{\rm E}}$ είναι ορθογώνιο

Γιώργος Απόκης · #217

sidchris έγραψε:Άσκηση 131η
Στο παρακάτω σχήμα ισχύει οτι $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 66}$ και $\displaystyle{\varepsilon \varphi {\rm A}\hat {\rm B}{\rm Z} = \frac{1}{3}}$ . Να δειχθεί οτι το $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z}{\rm E}}$ είναι ορθογώνιο

Αφού το εμβαδόν είναι $\displaystyle{66}$ έχουμε : $\displaystyle{AB\cdot B\Gamma=66}$ άρα $\displaystyle{AB=6=\Gamma \Delta}$ και $\displaystyle{\Delta E=E\Gamma=3}$ .

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ έχουμε : $\displaystyle{\epsilon \phi \widehat{ABZ}=\frac{AZ}{AB}}$ ή $\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{AZ}{6}}$ άρα $\displaystyle{AZ=2}$ και $\displaystyle{\Delta Z=11-2=9}$ .

Aπό το Πυθαγόρειο στα τρίγωνα $\displaystyle{AZB,\Delta E Z, E\Gamma B}$ έχουμε :

$\displaystyle{x=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90},~y=\sqrt{11^2+3^2}=\sqrt{130},~w=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}}$ . Παρατηρούμε ότι ισχύει :

$\displaystyle{y^2=x^2+z^2}$ άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου στο $\displaystyle{EZB}$ , έχουμε ότι : $\displaystyle{\widehat{EZB}=90^o}$

orestisgotsis · #218

ΠΕΡΙΤΤΑ

raf616 · #219

sidchris έγραψε:Ασκηση 4η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9.

Έστω ο αριθμός $\overline{xyz}$ , όπου $x, y, z \in 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Σύμφωνα με την υπόθεση θα ισχύει:

$\displaystyle{\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k}$ , από όπου έχουμε ότι x = k

,

. Επίσης από την υπόθεση θα ισχύει ότι $\overline{xyz} = \pi o \lambda 9$ .

Από τα κριτήρια διαιρετότητας θα πρέπει $x + y + z = \pi o \lambda 9 \Leftrightarrow k + 2k + 3k = \pi o \lambda 9 \Leftrightarrow 6k = \pi o \lambda 9$ .

Θα πρέπει όμως $3k \leq 9 \Leftrightarrow k \leq 3$ από όπου παίρνουμε ότι k = 3

, αφού $6 \cdot 3 = 18 = \pi o \lambda 9$ .

Έτσι, έχουμε ότι $x = k \Leftrightarrow \boxed{x = 3}$ , $y = 2k \Leftrightarrow \boxed{y = 6}$ , $z = 3k \Leftrightarrow \boxed{z = 9}$ .

Άρα, ο αριθμός είναι ο 369

orestisgotsis · #220

ΠΕΡΙΤΤΑ

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση