Προκριματικός 2013

jim.jt · #1

Σε έναν μήνα περίπου είναι ο προκριματικός διαγωνισμός της ΕΜΕ. Γι'αυτό προτείνω όποιος θέλει να ανεβάσει ασκήσεις αυτού του επιπέδου εδώ ώστε να βοηθήσει τους μαθητές του mathematica που θα συμμετέχουν.

#2

Άσκηση 1
$\left(\alpha \right)$ Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;
$\left(\beta \right)$ Υπάρχουν πέντε διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;

jim.jt · #3

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Άσκηση 1
$\left(\alpha \right)$ Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;
$\left(\beta \right)$ Υπάρχουν πέντε διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;

Σας ευχαριστώ πολύ που βοηθάτε σε αυτήν την προσπάθεια. Όμως θα σας παρακαλούσα να γράψετε το επίπεδο του διαγωνισμού. Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

jim.jt · #4

Μια δικιά μου για τους μικρούς:

Άσκηση 2Αν a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με abc=8

να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\frac{a^2b^2}{a+b}+\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}$ ή $\sum{\frac{a^2b^2}{a+b}}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

#5

jim.jt έγραψε:Μια δικιά μου για τους μικρούς:

Άσκηση 2Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί με να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\frac{a^2b^2}{a+b}+\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}$ ή $\sum{\frac{a^2b^2}{a+b}}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Δημήτρη συγχαρητήρια για την πρόκριση και καλή επιτυχία στον προκριματικό. Αν κρίνω από τια άλλες απαντήσεις που βάζεις η άσκηση του Παύλου είναι μέσα στις δυνατότητές σου.

Για την άσκηση που έβαλες τώρα έχουμε

$\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}} \frac{a^2b^2}{a+b} = 8\sum_{\text{cyc}} \frac{ab}{ac+bc} \geqslant 12}$

όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποίησα την ανισότητα

$\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}} \frac{x}{y+z} \geqslant \frac{3}{2}}$

της οποίας όμως ξεχνάω το όνομα.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x = y = z

που δίνει

και άρα

.

G.Bas · #6

jim.jt έγραψε:Μια δικιά μου για τους μικρούς:

Άσκηση 2Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί με να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\frac{a^2b^2}{a+b}+\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}$ ή $\sum{\frac{a^2b^2}{a+b}}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ακολουθούμε τον μετασχηματισμό $\displaystyle{(a,b,c)\mapsto\left(\frac{2}{x},\frac{2}{y},\frac{2}{z}\right)}$ και τότε αρκεί να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης

$\displaystyle{S=\sum\frac{8}{xy(x+y)}=8\sum\frac{z}{x+y}.}$

Αλλά το $\displaystyle{\sum\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}.}$

Άρα, $\displaystyle{S\geq 8\cdot\frac{3}{2}=12}$

και έχουμε ελάχιστο για a=b=c=2.

EDIT

oops, με πρόλαβε ο Δημήτρης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

jim.jt · #7

Εγώ την έφτιαξα για να λύνεται έτσι:

$\frac{a^2b^2}{a+b}+\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{3abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}=12$ .

Broly · #8

Μικροί:

Αν x,y,z>0 , k>2

και

να δειχθεί ότι :

$\frac{x}{b}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \geq \frac{3}{2k+1}$ .

Η άσκηση αυτή είχε πέσει στον προκριματικό στην ελλάδα το 1998.

Μεγάλοι:

Αν a_1,a_2,...,a_n

είναι πραγματικοί αριθμοί να δειχθεί ότι :
$\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}+\sqrt{a_2^2+(1-a_3)^2}+...+\sqrt{a_{n-1}^2+(1-a_n)^2}+\sqrt{a_n^2+(1-a_1)^2} \geq\frac{n\sqrt{2}}{2}$

για κάθε πραγματικό αριθμό a_1,a_2,...,a_n

. Πότε ισχύει η ισότητα?

#9

Άσκηση 3 Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση x^2-y^2+6x+6=0.

Άσκηση 4 Έστω ABC

ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο

Αποδείξτε ότι $\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{AB \cdot AC} \right)\geq BC.$

Άσκηση 5 Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση $9x^2+y^2=\left(3xy+5 \right)^2.$

Broly · #10

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Άσκηση 3 Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση

Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί x^2+6x+(6-y^2)=0

, ως τριώνυμο του χ.

Άρα D_y=36-4(6-y^2)=4y^2+12

. Επειδή ψάχνουμε τις ακέραιες ρίζες η διακρίνουσα θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω λοιπόν 4y^2+12=k^2

ή

. Μιας και το άθροισμα των όρων k-2y,k+2y

είναι άρτιος και το γινόμενο τους επίσης είναι άρτιος,

κάθε ένας ξεχωριστά θα πρέπει να είναι άρτιος.

Άρα έχουμε : k-2y=2 ,k+2y=6

από όπου προκύπτει ότι (k,y)=(4,1)

και από το σύστημα : k-2y=6,k+2y=2

έχουμε ότι (k,y)=(4,-1)

.

Παρατηρούμε απο την αρχική εξίσωση x^2-y^2+6x+6=0

πως αν

είναι λύση της , τότε και (x,-y)

είναι επίσης λύση.

Τώρα για να βρόυμε και τους ακεραίους

που ικανοποιούν την εξίσωση αρκεί να λύσουμε το τριώνυμο x^2+6x+5=0

ή

.

Άρα τα ζεύγη που ικανοποιούν την εξίσωση είναι : (x,y)=(-1,1),(-1,-1),(-5,1),(-5,-1)

.

Καθένα από τα παραπάνω ζεύγη επαληθεύει την αρχική. Παρόμοιο θέμα με το 2ο του αρχιμήδη των μεγάλων ως προς την αντιμετώπιση του.

Antonis_Z · #11

Άσκηση 6:(μεγάλοι μάλλον)

Λύστε στους ακεραίους την εξίσωση x^3=y^2+1

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

G.Bas · #12

Broly έγραψε:Μικροί:

Αν και να δειχθεί ότι :

$\frac{x}{b}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \geq \frac{3}{2k+1}$ .

Η άσκηση αυτή είχε πέσει στον προκριματικό στην ελλάδα το 1998.

Μεγάλοι:

Αν είναι πραγματικοί αριθμοί να δειχθεί ότι :
$\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}+\sqrt{a_2^2+(1-a_3)^2}+...+\sqrt{a_{n-1}^2+(1-a_n)^2}+\sqrt{a_n^2+(1-a_1)^2} \geq\frac{n\sqrt{2}}{2}$

για κάθε πραγματικό αριθμό . Πότε ισχύει η ισότητα?

1)

Ισχύει από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\sum\frac{x}{a}\geq\frac{(x+y+z)^2}{ax+by+cz}=\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2k(xy+yz+zx)}.}$

Μένει να δείξουμε ότι $\displaystyle{(2k+1)(x+y+z)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)+6k(xy+yz+zx),}$

το οποίο μετά τις πράξεις καταλήγει στην προφανή $\displaystyle{x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx.}$

2) Από την Ανισότητα Minkowski έχουμε

$\displaystyle{\sum\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}\geq\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2+(n-a_1-a_2-\cdots-a_n)^2}.}$

Επιπλεόν, από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2+(n-a_1-a_2-\cdots-a_n)^2}\geq\sqrt{\frac{n^2}{2}}=\frac{n\sqrt{2}}{2}.}$

G.Bas · #13

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Άσκηση 4 Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο Αποδείξτε ότι $\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{AB \cdot AC} \right)\geq BC.$

Θέτουμε $\displaystyle{ x=(AB),\, y=(AC),\, z=(BC).}$ Τότε η Ανισότητα γίνεται

$\displaystyle{\sqrt{2}(x+y-\sqrt{xy})\geq z}$

ή

$\displaystyle{x+y\geq\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}.}$

Αλλά, από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει για το δεξί μέλος

$\displaystyle{\left(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}\right)^2\leq 2\left(\frac{x^2+y^2}{2}+xy\right)=(x+y)^2.}$

Broly · #14

G.Bas έγραψε:
Broly έγραψε:Μικροί:

Αν και να δειχθεί ότι :

$\frac{x}{b}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \geq \frac{3}{2k+1}$ .

Η άσκηση αυτή είχε πέσει στον προκριματικό στην ελλάδα το 1998.

Μεγάλοι:

Αν είναι πραγματικοί αριθμοί να δειχθεί ότι :
$\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}+\sqrt{a_2^2+(1-a_3)^2}+...+\sqrt{a_{n-1}^2+(1-a_n)^2}+\sqrt{a_n^2+(1-a_1)^2} \geq\frac{n\sqrt{2}}{2}$

για κάθε πραγματικό αριθμό . Πότε ισχύει η ισότητα?
1)

Ισχύει από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\sum\frac{x}{a}\geq\frac{(x+y+z)^2}{ax+by+cz}=\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2k(xy+yz+zx)}.}$

Μένει να δείξουμε ότι $\displaystyle{(2k+1)(x+y+z)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)+6k(xy+yz+zx),}$

το οποίο μετά τις πράξεις καταλήγει στην προφανή $\displaystyle{x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx.}$

2) Από την Ανισότητα Minkowski έχουμε

$\displaystyle{\sum\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}\geq\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2+(n-a_1-a_2-\cdots-a_n)^2}.}$

Επιπλεόν, από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2+(n-a_1-a_2-\cdots-a_n)^2}\geq\sqrt{\frac{n^2}{2}}=\frac{n\sqrt{2}}{2}.}$

ωραίος. Για την δεύτερη, έχω συναντήσει μια εναλλακτική λύση την οποία θα ποστάρω πιο μετά.

G.Bas · #15

Broly έγραψε:

ωραίος. Για την δεύτερη, έχω συναντήσει μια εναλλακτική λύση την οποία θα ποστάρω πιο μετά.

Μήπως η ενναλακτική λύση είναι αυτή;

Από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

$\displaystyle{\sum\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}\geq\sum\frac{a_1+1-a_2}{\sqrt{2}}=\frac{n}{\sqrt{2}}.}$

Broly · #16

G.Bas έγραψε:
Broly έγραψε:

ωραίος. Για την δεύτερη, έχω συναντήσει μια εναλλακτική λύση την οποία θα ποστάρω πιο μετά.
Μήπως η ενναλακτική λύση είναι αυτή;

Από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

$\displaystyle{\sum\sqrt{a_1^2+(1-a_2)^2}\geq\sum\frac{a_1+1-a_2}{\sqrt{2}}=\frac{n}{\sqrt{2}}.}$

ωραίος φίλε. όχι δεν είναι αυτή. την άσκηση αυτή την βρήκα στο βιβλίο "USSR OLYMPIAD PROBLEM BOOK" και έχει μια άκυρη λύση με διανύσματα και ιστορίες.
έλεγα να την βάλω αλλά τελικά είναι λίγο μεγαλούτσικη...ουσιαστικά την έβαλα εδώ μιας και ήμουν σίγουρος πως μπορεί να λυθεί με Cauchy-Schwarz απλά
εγώ δεν έβλεπα πως...

jim.jt · #17

Μικροί

Να βρεθεί ο κύβος του αριθμού

, όπου

$N=\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3...}}}}}}$

jim.jt · #18

Μικροί

Άλλη μία με ρίζες:

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}$ και $y=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}$

Να βρείτε τη διαφορά S=x-y

.

Broly · #19

jim.jt έγραψε:Μικροί

Να βρεθεί ο κύβος του αριθμού , όπου

$N=\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3...}}}}}}$

Έχουμε $N^2=7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3...}}}}}}$ ή $N^2=7\sqrt{3N}$ ή N^4=7^2*3N

, άρα

.

Δεν είμαι σίγουρος για την λύση.μπορεί να είναι και λάθος.

Broly · #20

jim.jt έγραψε:Μικροί

Άλλη μία με ρίζες:

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}$ και $y=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}$

Να βρείτε τη διαφορά .

Έχουμε $x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}$ ή x^2=2+x

. Η δευτεροβά8μια δύνει τις λύσεις 2,-1

.
Η λύση -1 είναι αδύνατη μιας και το χ είναι θετικός αριθμός . Άρα x=2

.

Παρόμοια έχουμε $y^2=2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}$ ή y^2=2y

οπότε

. Επειδή

έχουμε

.

Άρα η διαφορά x-y

ισούται με

.

Προκριματικός 2013

Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Re: Προκριματικός 2013

Μέλη σε σύνδεση