Ικανή και αναγκαία συνθήκη
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 467
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm
Ικανή και αναγκαία συνθήκη
Μια κυρτή f είναι και συνεχής όπως πολύ εύστοχα παρατηρησε ο κ.Μαυρογιάννης σε προηγούμενη δημοσίευση μου. Βαζοντας μια συνθήκη για την f μπορούμε να δημιουργήσουμε ικανή και αναγκαια συνθηκη ώστε η f να είναι κυρτή.
Ασκηση
Έστω f:(α, β) R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι κυρτή, αν και μονο αν για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς γ, δ η συνάρτηση f(x)+γx+δ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (α, β).
Ασκηση
Έστω f:(α, β) R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι κυρτή, αν και μονο αν για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς γ, δ η συνάρτηση f(x)+γx+δ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (α, β).
Λέξεις Κλειδιά:
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη
Στράτο νομίζω ότι η άσκηση είναι κατά το ήμισυ σωστή. Συγκεκριμένα η συνθήκη κυρτότητας είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία.
Ισχύει:
Αν είναι κυρτή τότε για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς η συνάρτηση δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο
Απόδειξη: Θα αποδείξουμε πρώτα ότι μία κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστη τιμή. Ας πούμε πως έχει στο . Επιλέγουμε ώστε . Τότε
(1)
Αλλά αφού η συνάρτηση είναι κυρτή πρέπει
(2)
πράγμα αδύνατο. Αρα η δεν έχει μέγιστο.
Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αν η είναι κυρτή τότε και η είναι κυρτή. Πράγματι με και με έχουμε:
'Αρα και επομένως η είναι κυρτή.
Τώρα αφού η είναι κυρτή σε ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστο.
ΣΧΟΛΙΟ: Η συνέχεια της δεν χρησιμοποιήθηκε.
Δεν ισχύει:
Αν και για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς η συνάρτηση δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο τότε η είναι κυρτή.
Αντιπαράδειγμα: 'Εστω η συνάρτηση . Η είναι συνεχής και η συνάρτηση στο έχει όριο το ενώ στο έχει όριο . Επομένως στο δεν έχει μέγιστο. Αλλά η στο δεν είναι κυρτή.
Μαυρογιάννης
Ισχύει:
Αν είναι κυρτή τότε για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς η συνάρτηση δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο
Απόδειξη: Θα αποδείξουμε πρώτα ότι μία κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστη τιμή. Ας πούμε πως έχει στο . Επιλέγουμε ώστε . Τότε
(1)
Αλλά αφού η συνάρτηση είναι κυρτή πρέπει
(2)
πράγμα αδύνατο. Αρα η δεν έχει μέγιστο.
Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αν η είναι κυρτή τότε και η είναι κυρτή. Πράγματι με και με έχουμε:
'Αρα και επομένως η είναι κυρτή.
Τώρα αφού η είναι κυρτή σε ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστο.
ΣΧΟΛΙΟ: Η συνέχεια της δεν χρησιμοποιήθηκε.
Δεν ισχύει:
Αν και για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς η συνάρτηση δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο τότε η είναι κυρτή.
Αντιπαράδειγμα: 'Εστω η συνάρτηση . Η είναι συνεχής και η συνάρτηση στο έχει όριο το ενώ στο έχει όριο . Επομένως στο δεν έχει μέγιστο. Αλλά η στο δεν είναι κυρτή.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη
Το σωστό κριτήριο κυρτότητας που έχει σχέση με τα παραπάνω είναι:
Εστω συνεχής συνάρτηση.
Η είναι κυρτή αν και μόνο αν
Για κάθε και
η συνάρτηση
με δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο
Εστω συνεχής συνάρτηση.
Η είναι κυρτή αν και μόνο αν
Για κάθε και
η συνάρτηση
με δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες