Συναρτησιακή

Aladdin · #1

Καλησπέρα
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(1) = 2}$ και $\displaystyle{|xf(y) - yf(x)| \le 2}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(0) = 0}$ και ότι $\displaystyle{f(x) = 2x}$
Καμια ιδέα για το δεύτερο ;
Πέτρος

parmenides51 · #2

δυο ιδέες εδώ κι άλλες εδώ

Aladdin · #3

Μήπως είναι λάθος η ανισοϊσοτική στο 2ο μέλος ;

parmenides51 · #4

Δεν νομίζω, σωστή μου φαίνεται

τα γράφω σε απόκρυψη αφού ζήτησες ιδέα κι όχι λύση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Aladdin · #5

ok ευχαριστω

parmenides51 · #6

μάλλον δεν βγαίνει με ορισμό παραγώγου, είχα κάνει λάθος πράξεις, σωστός είναι ο δοσμένος τύπος,
αντιγράφω την λύση που έχω μπροστά μου γιατί είναι λιγάκι δύσκολη για να την περιγράψω, εντός ολίγου

Aladdin · #7

Μαθηματικός έγραψε:ok ευχαριστω

Δε χρειάζεται $\displaystyle{{\left( {x - y} \right)^2}}$ στο δεύτερο μέλος ;

Aladdin · #8

Μαθηματικός έγραψε:
Μαθηματικός έγραψε:ok ευχαριστω
Δε χρειάζεται $\displaystyle{{\left( {x - y} \right)^2}}$ στο δεύτερο μέλος ;

Ωραία, αναμένω

parmenides51 · #9

Μαθηματικός έγραψε:Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(1) = 2}$ και $\displaystyle{|xf(y) - yf(x)| \le 2}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(0) = 0}$ και ότι $\displaystyle{f(x) = 2x}$

Αν $\displaystyle{x,y\ne 0}$ τότε $\displaystyle{0\le \left|\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}\right|\le \frac{2}{|xy|}}$

κι επειδή $\displaystyle{\lim_{y\rightarrow +\infty } \frac{2}{|xy|}}=\lim_{y\rightarrow +\infty }0=0 }$ από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει πως

$\displaystyle{\lim_{y\rightarrow +\infty }\left|\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}\right|=0 \Leftrightarrow \lim_{y\rightarrow +\infty }\frac{f(y)}{y}=\frac{f(x)}{x} }$

δηλαδή $\displaystyle{\frac{f(x)}{x}\right)=c}$ με $\displaystyle{c\in\mathbb{R}}$ σταθερά $\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)=cx }$ για $\displaystyle{x\ne 0}$ (1)

Αν $\displaystyle{y=0}$ και $\displaystyle{x\ne 0}$ τότε από την αρχική έχουμε πως $\displaystyle{|xf(0)|\le 2 \Rightarrow 0\le |f(0)| \le \frac{2}{|x|}}$

κι επειδή $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{|x|}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }0=0 }$ από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει πως

$\displaystyle{f(0)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(0)=0}$ (2)

άρα από (1),(2) έχουμε πως $\displaystyle{f(x)=cx }$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ κι επειδή $\displaystyle{f(1)=2\Rightarrow c=2}$

άρα $\displaystyle{ f(x)=2x }$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

edit Διόρθωσα το $\displaystyle{2}$ στο β' μέλος στις ανισώσεις, εκ παραδρομής είχα βάλει $\displaystyle{1}$

Aladdin · #10

Ευχαριστώ καλό βράδυ

parmenides51 · #11

προτάθηκε πάλι εδώ και λύθηκε εδώ

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση