Θέμα 40

ghan · #1

Έστω $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+x+1$ . Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \nu \ln \frac{f(\nu +1)}{f(\nu )} \right\}$ .

BAGGP93 · #2

Μια προσπάθεια στο θέμα.
D(f)=R

.Η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

ως πολυωνυμική με

$f^\prime(x)=2x+1$ .
Η

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα $\left[n,n+1 \right]$ και άρα
$\exists x_1\in \left(n,n+1 \right);f^\prime(x_1)=f(n+1)-f(n)\Rightarrow 2x_1+1=f(n+1)-f(n)\Rightarrow ln(2x_1+1)=ln({f(n+1)\over f(n)})$

n<x_1<n+1

και άρα όταν $n\rightarrow +\infty\Rightarrow x_1\rightarrow +\infty$ .
Έχουμε ότι $\lim_{n\rightarrow +\infty}ln({f(n+1)\over f(n)})=\lim_{x_1\rightarrow +\infty}ln(2x_1+1)=+\infty$

Άρα $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left\{nln({f(n+1)\over f(n))} \right\}=+\infty$
Η

είναι γνήσια αύξουσα για x>0

καθώς $f^\prime(x)=2x+1>0$ για κάθε x>0

και άρα
$n+1>n\Rightarrow f(n+1)-f(n)>0$ και έτσι έχει νόημα ο λογάριθμος

STOPJOHN · #3

Καλησπέρα, BAGGP93 να ρωτήσω στο θεώρημα Μέσης τιμής το $x_{1}\varepsilon \left(n,n+1 \right)$ παίρνει μερικές τιμές στο συγκεκριμένο διάστημα ,πως ξέρουμε ότι απειρίζεται; Βάση γνωστών θεωρημάτων ;
φιλικά
Γιάννης

STOPJOHN · #4

$\frac{f(\nu +1)}{f(\nu )}=\frac{\nu ^{2}+3\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1}=1+\frac{2\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1}$ θέτω $u=\frac{2\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1},\nu \rightarrow +\propto \Leftrightarrow u\rightarrow 0+$ Είναι $u\nu ^{2}+(u-2)\nu +(u-3)=0\Leftrightarrow \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u},\nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u}$ με τους περιορισμούς $\Delta >0\Leftrightarrow \frac{4-2\sqrt{7}}{3}<u<\frac{u+2\sqrt{7}}{3}$ εφόσον $u\rightarrow 0+$ Άρα υπολογίζουμε το όριο $\lim_{u\rightarrow 0}\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u}.ln(u+1)$ Για $\nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u},$
απορρίπτεται γιατί $\nu \rightarrow -3\Leftrightarrow u\rightarrow 0+$ απλές πράξεις με συζυγή παράσταση. Αρα
$\lim_{u\rightarrow 0}(2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}).\frac{ln(u+1)}{u}=4.1=4$

Γιάννης

ghan · #5

Γιάννη γεια σου!

Δεν είναι αυτό το όριο.

Σε χαιρετώ.

ghan · #6

Υπόδειξη

Είναι $\displaystyle{{{u}_{\nu }}=\nu \ln \frac{f(\nu +1)}{f(\nu )}=\nu \ln \left( 1+\frac{f(\nu +1)-f(\nu )}{f(\nu )} \right)\le \nu \frac{f(\nu +1)-f(\nu )}{f(\nu )}=}$
$=\nu \frac{2\nu +2}{{{\nu }^{2}}+\nu +1}$

STOPJOHN · #7

Καλημέρα, ghan ευχαριστώ , ελέγχω τη λύση και την επαναφέρω
Γιάννης

STOPJOHN · #8

ghan, στη λύση που έχω δώσει ,λείπει το

στον παρονομαστή και η απάντηση είναι $\lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=2$
Ποιά είναι η δική σου απάντηση; Πρόσεξε δεν θέλω τη λύση .
Γιάννης

ghan · #9

Το όριο είναι 2.
Δες το και από την υπόδειξη.

Σε καλημερίζω.

STOPJOHN · #10

Ευχαριστώ gahn, με το δικό μου τρόπο βρήκα όριο δυο και γράφω λεπτομέρειες $u\nu =\nu ln(1+\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+\nu +1}), u=\frac{2\nu +2}{\nu^{2} +\nu +1 } (1),u\rightarrow 0\Leftrightarrow \nu \rightarrow +\propto$ $(1)\Leftrightarrow u\nu ^{2}+(u-2)\nu +u-2=0, \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u},\frac{-2}{3}<u<2$ Αρα $\lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=\frac{4}{2}.1=2$ η άλλη περίπτωση αποκλείεται γιατί $\nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u}$ αποκλείεται γιατί το όριο του ν είναι πραγματικός αριθμός .Πολύ φασαρία ...για ένα δυο...
Γιάννης

#11

STOPJOHN έγραψε:Ευχαριστώ gahn, με το δικό μου τρόπο βρήκα όριο δυο και γράφω λεπτομέρειες $u\nu =\nu ln(1+\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+\nu +1}), u=\frac{2\nu +2}{\nu^{2} +\nu +1 } (1),u\rightarrow 0\Leftrightarrow \nu \rightarrow +\propto$ $(1)\Leftrightarrow u\nu ^{2}+(u-2)\nu +u-2=0, \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u},\frac{-2}{3}<u<2$ Αρα $\lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=\frac{4}{2}.1=2$ η άλλη περίπτωση αποκλείεται γιατί $\nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u}$ αποκλείεται γιατί το όριο του ν είναι πραγματικός αριθμός .Πολύ φασαρία ...για ένα δυο...
Γιάννης

Κύρις Γιάννη συγνώμη αλλά ειλικρινά:
1)Δεν κατανοώ τον τρόπο σας.
2)Δε μπορώ να βγάλω από τις σκέψεις σας πως το όριο είναι δύο.

#12

BAGGP93 έγραψε: $2x_1+1=f(n+1)-f(n)\Rightarrow ln(2x_1+1)=ln({f(n+1)\over f(n)})$

Χμμμ, για δες το πάλι.

Μ.

STOPJOHN · #13

Χρήστο, καλημέρα κάνω αλλαγή μεταβλητής και στη συνέχεια με τριώνυμο βρίσκω το όριο οι πράξεις φαίνονται παραπάνω
Η οποιαδήποτε καθυστέρηση στην απάντηση οφείλεται σε διακοπές του internet αν υπάρχει ακόμη απορία θα επανέλθω
Γιάννης

#14

Συνεχίζω να μην κατανοώ!
Ειδικά αυτό το πάντρεμα μεταβλητών και ορίων, δεν το έχω ξαναδεί!
Μπορεί και να μη βλέπω αυτό που πρέπει, εντάξει.
Καλημέρα.

STOPJOHN · #15

Πάμε με ένα παράδειγμα στην κατανόηση του παντρέματος ...
$a_{\nu }=\frac{\nu ^{2}+\nu +5}{\nu ^{2}+1}$ θέλω να βρω το όριο της ακολουθίας .Θέτω $u=\frac{1}{\nu },\nu \rightarrow +\propto \Leftrightarrow u\rightarrow 0+$ άρα υπολογίζω το όριο της ακολουθίας $a_{u}=\frac{1+u+5u^{2}}{1+u},\lim_{u\rightarrow 0}a_{u}=1$ . Εφόσον υπάρχει απορία την ακούω....σε αναμονή
Φιλικά
Γιάννης
Υ.Γ Υπάρχει πρόβλημα με την ιστοσελίδα του mathematica δηλαδή και όταν έχω internet κάνοντας υποβολή περιμένω ....και δεν πηγαίνουνε τα μηνύματα τι φταίει;

#16

Στη λύση σας, σας είναι εύκολο να προσδιορίσετε την ακολουθία $\displaystyle{ u_n }$ ;;
Και επιπλέον, εξισώνετε έναν φυσικό αριθμό (το

) με μία παράσταση που δε γνωρίζετε καν αν είναι φυσικός αριθμός;;
Αυτά ειλικρινά δεν τα έχω ξαναδεί και με με ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα σας παρακολουθήσω στην απαντησή σας.

STOPJOHN · #17

Η ακολουθία είναι η δοσμένη από την υπόθεση και θέτω $u_{_{\nu }}=\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+n+1}$ με όριο το μηδέν τα υπόλοιπα έπονται με πράξεις
Γιάννης
ΥΓ. Η απάντηση είναι δυο όπως δόθηκε από τον θεματοδότη

#18

Εντάξει, αλλά πως ένας φυσικός ισούται με μία παράσταση που δεν είναι πάντα φυσικός;;

STOPJOHN · #19

Δεν είναι απαραίτητο να είναι φυσικός όταν κάνουμε αντικατάσταση.Άλλο ισότητα και άλλο αντικατάσταση
Γιάννης

Γιώργος Απόκης · #20

Καλησπέρα. Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο στην κουβέντα... Ο Χρήστος υποθέτω πως εννοεί

ότι στην αντικατάσταση $u=\frac{1}{\nu}$ πλέον το

δεν είναι φυσικός (παρά μόνο για $\nu=1$ ) άρα

δεν έχει νόημα η "ακολουθία" a_u

... ο δείκτης δεν είναι φυσικός.

Θέμα 40

Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Re: Θέμα 40

Μέλη σε σύνδεση