Εξισώσεις στους ακεραίους
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
ή
&
Εύκολα βρίσκουμε και μένει να λυθεί η εξίσωση άρα διαιρεί το κ.τ.λ
Μοναδικές λύσεις
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει:
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει:
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε:8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει:
Κλασική περίπτωση θεωρώντας τριώνυμο ως προς θα καταλήξουμε στην , και η εξίσωση έχει λύσεις για , , , , , , , , και βρίσκουμε απο την αρχική εξίσωση τις λύσεις που προκύπτουν πολύ εύκολα....
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:13 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Άλλη μια....
9)
9)
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε:9)
Για έχουμε ή Oι αριθμοί , , είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του θα πρέπει ή και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Δημήτρη, αυτό δεν είναι σωστό. Μάλλον θέλεις να πεις ήΑρχιμήδης 6 έγραψε:
Για έχουμε ή Oι αριθμοί , , είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του θα πρέπει ή και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι .
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Θανάση είναι σωστό γιατί ο είναι δύναμη πρώτου. Αν σκεφτείς πιο απλά ...η ποσότητα είναι <<κρυμμένη>> στην ποσότητα και αφού ο δεν είναι πολλαπλάσιο του τότε θα είναι κρυμμένη στην . Αν η ποσότητα διασπαστεί και καταμεριστεί στους , τότε οι , θα έχουν κοινό διαιρέτη τον που είναι άτοπο. Άρα η δύναμη θα βρίσκεται ακριβώς σε έναν από τους ή όπως είπα. Άρα ή .Θανάση έχεις δίκιο! Το κατάλαβα λίγο αργά.
Η λύση της εξίσωσης μου είναι λάθος!
Η λύση της εξίσωσης μου είναι λάθος!
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
. Bάζοντας λοιπόν όπου βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο απο το δεξί με λύσεις μόνο για άρα .
Aν πάλι με τον ίδιο τρόπο έχει λύσεις για άρα .
Aν πάλι με τον ίδιο τρόπο έχει λύσεις για άρα .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Ωραία Δημήτρη!
Για το Δημήτρη που τη ζήτησε :
10)
Για το Δημήτρη που τη ζήτησε :
10)
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Ευχαριστώ Θανάση !
Έστω και , με τελικά η εξίσωση θα γίνει...
Όμως και λύνουμε τις εξισώσεις ξεχωριστά ... (1) (2) (3) Λόγο χρόνου την έγραψα σύντομα...Καλή συνέχεια.
Λοιπόνsocrates έγραψε:Ωραία Δημήτρη!
10)
Έστω και , με τελικά η εξίσωση θα γίνει...
Όμως και λύνουμε τις εξισώσεις ξεχωριστά ... (1) (2) (3) Λόγο χρόνου την έγραψα σύντομα...Καλή συνέχεια.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:15 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Βάζω μερικές ακόμα για όσους θέλουν να ασχοληθούν:
12)
13)
14)
15)
16)
Δίνεται η εξίσωση Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.
12)
13)
14)
15)
16)
Δίνεται η εξίσωση Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε:
13)
Aρκεί να δεις ότι Αν o διαιρεί τον και τον αλλά όχι και τον . Άρα . Μοναδική λύση .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Η εξίσωση γράφεταιsocrates έγραψε: 14)
Όμως για ισχύει , άρα το δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για .
Επίσης για έχουμε , άρα το δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για .
Για είναι οπότε δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Εξετάζοντας με το χέρι τις τιμές που μένουν βρίσκουμε τελικά και με αντικατάσταση βρίσκουμε τις τιμές του . Συγκεκριμένα έχουμε τις λύσεις
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε:16)
Δίνεται η εξίσωση Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.
Έστω ότι ,
Μετά από αντικατάσταση των ισοτήτων στην αρχική εξίσωση και λίγες πράξεις θα πάρουμε ένα τριώνυμο ως προς της μορφής ....
H διακρίνουσα είναι ίση με και για να έχουμε ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο άρα έστω ότι
( Έστω ) .
και αφού τότε υπάρχουν ακέραιοι με ώστε
και άρα και προφανός το σύστημα έχει μικρότερη θετική λύση την άρα .
Φιλικά , Δημήτρης .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Δε βρίσκω κάτι καλύτερο αυτή τη στιγμή από την παρακάτω λύση.socrates έγραψε: 15)
Θα δείξουμε με επαγωγή ότι ισχύει η πρόταση , για κάθε .
Η είναι αληθής.
Έστω λοιπόν και ας υποθέσουμε ότι η είναι αληθής δηλαδή .
Τότε
διότι αφενός ισχύει ότι για και αφετέρου είναι εύκολο να δείξουμε με επαγωγή ότι για . Άρα η είναι αληθής και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.
Άρα τελικά οι μόνες ακέραιες τιμές που πρέπει να εξετάσουμε είναι οι θετικές και μικρότερες του . Πράγματι οι είναι λύσεις άρα και μοναδικές.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
17)
Από την ανισότητα είναι
Όμως οπότε
Μια λύση στην 11:socrates έγραψε:11)
Από την ανισότητα είναι
Όμως οπότε
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Λύση των .
Και οι δυο εξισώσεις είνα της μορφής :
όπου ακέραιοι και ισχύει ότι
Αν θέσουμε όπου & θα φτάσουμε στην παρακάτω εξίσωση :
Aν το δούμε σαν τριώνυμο ως προς θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο ώστε να έχει ακέραιες λύσεις και έστω ότι αυτή είναι ίση με .
Άρα
και η εύρεση των για δεδομένους είναι πλέον πολύ εύκολη δεδομένου ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης λόγω της είναι θετικό .Είναι εμφανές ότι για να έχει λύσεις η αρχική εξίσωση λόγω της θα πρέπει και πάντα η αρχική εξίσωση τελικά βλέπουμε ότι θα έχει πεπερασμένες λύσεις .
Και οι δυο εξισώσεις είνα της μορφής :
όπου ακέραιοι και ισχύει ότι
Αν θέσουμε όπου & θα φτάσουμε στην παρακάτω εξίσωση :
Aν το δούμε σαν τριώνυμο ως προς θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο ώστε να έχει ακέραιες λύσεις και έστω ότι αυτή είναι ίση με .
Άρα
και η εύρεση των για δεδομένους είναι πλέον πολύ εύκολη δεδομένου ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης λόγω της είναι θετικό .Είναι εμφανές ότι για να έχει λύσεις η αρχική εξίσωση λόγω της θα πρέπει και πάντα η αρχική εξίσωση τελικά βλέπουμε ότι θα έχει πεπερασμένες λύσεις .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
21 )
Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .
Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες