Εξισώσεις στους ακεραίους

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εξισώσεις στους ακεραίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:32 pm

Ζήλεψα από τον Μπάμπη :mrgreen: .
1)
Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση x^{2}y+2x^{2}-y-17=0
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 6:07 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:40 pm

mathxl έγραψε:1) Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση x^{2}y+2x^{2}-y-17=0
Η εξίσωση γράφεται ως

\displaystyle{x^2=1+\frac{15}{y+2}.} Άρα πρέπει \displaystyle{y+2=1,3,5,\pm 15,} αφού \displaystyle{\frac{y+17}{y+2}\geq 0.}

Από εδώ βρίσκουμε για το \displaystyle{y} τις τιμές \displaystyle{y=-1,1,3,13,-17.}

Αν \displaystyle{y=-1,} βρίσκουμε \displaystyle{x^2=16} άρα \displaystyle{x=\pm 4.}

Αν \displaystyle{y=1} βρίσκουμε \displaystyle{x^2=6,} αδύνατη στο \displaystyle{\mathbb{Z}.}

Αν \displaystyle{y=3} βρίσκουμε \displaystyle{x^2=4} άρα \displaystyle{x=\pm 2.}

Αν \displaystyle{y=13} βρίσκουμε \displaystyle{x^2=2,} αδύνατη στο \displaystyle{\mathbb{Z}.}

Αν \displaystyle{y=-17} βρίσκουμε \displaystyle{x=0.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:43 pm

Πολύ ωραία ιδέα! ( Κύριε Μάγκο :clap: τα συγχαρητήριά μου προλάβατε να την σκεφτείτε και να την γράψετε μέσα σε 8 :D λεπτά!)
τελευταία επεξεργασία από pito σε Δευ Νοέμ 14, 2011 11:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:43 pm

Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη
2)
x^{2}+13x=y^{2}-26 πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 711
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:45 pm

Για x=0 έχω y=17
και για y=0 αδύνατη.
Παραγοντοποιώντας έχω:

\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( y+2 \right)=15
Όμως 15=1*3*5 και αφού x+1 > x-1 πρέπει:
x-1=1 άρα x=2 και y=3 ή y+2=1 άρα y=-1 και x=4.
Ομοίως βρίσκουμε και τις αρνητικές λύσεις.

Φιλικά,
Σωκράτης


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:01 am

mathxl έγραψε:Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη x^{2}+13x=y^{2}-26 πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{x^2+13x+26-y^2=0.}

Αυτή έχει διακρίνουσα \displaystyle{D=4y^2+65} και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει ακέραιος \displaystyle{z} ώστε

\displaystyle{4y^2+65=z^2,} ή αλλιώς \displaystyle{(2y-z)(2y+z)=-65.}

Γράφοντας το \displaystyle{-65} ως γινόμενο υπό τη μορφή \displaystyle{-1\cdot 65} ή \displaystyle{1\cdot (-65)} ή \displaystyle{-3\cdot 15} ή \displaystyle{3\cdot (-15)} βρίσκουμε για το \displaystyle{y} τις τιμές \displaystyle{y=\pm 2,\pm 16} και τότε τα αντίστοιχα \displaystyle{x} είναι \displaystyle{-2,-11} και \displaystyle{x=-23,10.} Όλα τα ζεύγη ικανοποιούν και την αρχική.

Τελικά οι λύσεις είναι οι

\displaystyle{(-2,2),(2,-2),(-11,2),(-11,-2),(10,16),(10,-16),(-23,16),)(-23,-16).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:10 am

Ο άλλος τρόπος που έχω υπόψη μου είναι αυτός του Σωκράτη, δηλαδή παραγοντοποίηση με γινόμενο κάποιον ακέραιο με βολικούς διαιρέτες
mathxl έγραψε: x^{2}+13x=y^{2}-26 πάλι στους ακεραίους
\displaystyle{{x^2} + 13x + 26 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot 13 + {13^2} - {13^2} + 104 - 4{y^2} = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{{\left( {2x + 13} \right)^2} - 4{y^2} = 65 \Leftrightarrow \left( {2x + 13 - 2y} \right)\left( {2x + 13 + 2y} \right) = 5 \cdot 13}

κτλ
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:34 am

και μια τρίτη στην παρέα.
3)
Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους 3xy+9y=9+3x+x^{2}
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:47 am

mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους 3xy+9y=9+3x+x^{2}

Φανερά ο \displaystyle{x} είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{3}. Ας είναι λοιπόν \displaystyle{x=3z.}

Τότε, η εξίσωση γράφεται \displaystyle{z^2+z+1=yz+y} δηλαδή \displaystyle{(z+1)(y-z)=1.}

Από εδώ είναι \displaystyle{z+1=y-z=1} ή \displaystyle{z+1=y-z=-1.}

Βρίσκουμε \displaystyle{y=1,z=0} ή \displaystyle{y=-3,z=-2.}

Άρα, τελικά \displaystyle{x=0,y=1} ή \displaystyle{x=-6,y=-3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:52 am

mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους 3xy+9y=9+3x+x^{2}
Είναι φανερό ότι 3|x άρα x=3x_1 οπότε αντικαθιστώντας, η εξίσωση γράφεται

x_1y+y=1+x_1+x_1^2 δηλαδή y=1+x_1-\displaystyle\frac{x_1}{x_1+1} (είναι x_1\neq -1)

Όμως (x_1,x_1+1)=1 άρα πρέπει x_1+1=\pm 1 δηλαδή x_1=0 ή x_1=-2

Αν x_1=0 τότε x=0 και y=1
Αν x_1=-2 τότε x=-6 και y=-3

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Νοέμ 16, 2011 1:38 pm

4)
Να λυθει στους ακεραίους και αυτή 2(x^{3}+xy+y^{3})=3(x+y)
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Νοέμ 16, 2011 2:12 pm

mathxl έγραψε:Να λυθει στους ακεραίους και αυτή 2(x^{3}+xy+y^{3})=3(x+y)
Θέτουμε \displaystyle{x=a+b,y=a-b} με \displaystyle{a,b} ακέραιους. Τότε, η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{b^2=\frac{2a^3+a^2-3a}{1-6a}.}

Πρέπει να ισχύει \displaystyle{\frac{2a^3+a^2-3a}{1-6a} \geq 0 \Rightarrow a\in \Big(-\frac{3}{2},0\Big]\cup \Big(\frac{1}{6},1\Big]}.

Επειδή \displaystyle{a\in \mathbb{Z},} είναι \displaystyle{a=0,1,-1.}

Βρίσκουμε αντίστοιχα \displaystyle{b^2=0,0,\frac{2}{7}.} Άρα \displaystyle{b=0.}

Άρα προκύπτουν οι τιμές \displaystyle{x=y=0,x=y=1.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 16, 2011 2:41 pm

Και εγώ τις ίδιες βρήκα . Απλά να προσθέσω στην λύση του κυρίου Θάνου ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε για κάθε ζεύγος ακεραίων (x,y) να υπάρχουν ακέραιοι a,b ώστε x=a+b , y=a-b είναι να ισχύει x=ymod2 . Οπότε στην περίπτωση μας δικαιολογείται η ύπαρξη των (a,b) γιατί πάντα σύμφωνα με την εξίσωσή μας x=ymod2 . (Aν ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός η εξίσωση δεν έχει λύσεις . )
Για να μην κάνουμε αυτή την διαδικασία θα μπορούσαμε απλά να θέσουμε x+y=a , x-y=b ...


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 16, 2011 3:26 pm

5)
Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς : x+y=(x-y)^2


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Νοέμ 16, 2011 3:52 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
x+y=(x-y)^2
Ας θέσουμε \displaystyle{x-y=a\in \mathbb{Z},} οπότε \displaystyle{x=y+a.}

Η εξίσωση γράφεται τότε, \displaystyle{2y+a=a^2} δηλαδή \displaystyle{y=\frac{a(a-1)}{2}.}

Το ότι ο \displaystyle{y} στην παραπάνω σχέση είναι ακέραιος, είναι φανερό, αφού το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος.

Επομένως βρίσκουμε για το \displaystyle{x,}

\displaystyle{x=a+y=\frac{a(a+1)}{2}.}

Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα ζευγάρια \displaystyle{\Big(\frac{a(a+1)}{2},\frac{a(a-1)}{2}\Big), a\in \mathbb{Z}} ικανοποιούν την αρχική.

Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους"; :)


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 16, 2011 4:12 pm

Σωστά Θάνο. Να σημειωθεί ότι η εξίσωση προτάθηκε για την ουσία των λύσεων που είναι οι τριγωνικοί αριθμοί . Όι τριγωνικοί αριθμοί είναι ης μορφής n(n+1)/2 και η ιδιότητα των τριγωνικών αριθμών είναι η εξίσωση που προτάθηκε για επίλυση . Για 2 διαδοχικούς τριγωνικούς x,y ισχύει x+y=(x-y)^2 .


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2011 4:27 pm

6)
Να λυθεί στους ακεραίους: \displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2003.}
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Νοέμ 16, 2011 4:46 pm

socrates έγραψε:Να λυθεί στους ακεραίους: \displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2003.}

Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση

\displaystyle{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=2003.}

Επειδή ο \displaystyle{2003} είναι πρώτος και ισχύει \displaystyle{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0,} υπάρχουν οι δυνατότητες

α) \displaystyle{a+b+c=1,a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=2003,}

β) \displaystyle{a+b+c=2003,a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1.}

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε \displaystyle{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1} και \displaystyle{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=2003,}

άρα \displaystyle{3(ab+bc+ca)=-2002,} άτοπο, αφού ο \displaystyle{2002} δε διαιρείται από το \displaystyle{3}.

Στη δεύτερη περίπτωση, η 2η σχέση γράφεται \displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2.}

Από εδώ φαίνεται ότι πρέπει δύο από τα τρία τετράγωνα να ισούνται με \displaystyle{1} και το 3ο με \displaystyle{0.}

Ας είναι π.χ. \displaystyle{a=b,} οπότε \displaystyle{(a-c)^2=(b-c)^2=1,} δηλαδή \displaystyle{a-c=1} ή \displaystyle{a-c=-1.}

Για \displaystyle{a-c=1,} από την άλλη εξίσωση έχουμε \displaystyle{3c=2001,} άρα \displaystyle{c=667,} οπότε \displaystyle{a=b=668.}

Αν \displaystyle{a-c=-1,} η άλλη εξίσωση γράφεται \displaystyle{3c=2005,} αδύνατη, αφού το \displaystyle{2005} δε διαιρείται με το \displaystyle{3}.

Άρα, τελικά οι λύσεις της αρχικής είναι η \displaystyle{(668,668,667)} και οι μεταθέσεις της.

EDIT* Αφού έγραψα τη λύση παρατηρώ ότι αντί για \displaystyle{x,y,z} έγραφα \displaystyle{a,b,c.} :wacko: :wacko:


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2011 5:03 pm

7)
Άλλη μια (λίγο πιο δύσκολη :mrgreen: ): \displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x=y^{2}+y. }
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Νοέμ 16, 2011 5:47 pm

matha έγραψε:

Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους"; :)
Καλή ιδέα θα βάλω και αρίθμηση σε κάθε άσκηση για να μην χάσουμε την μπάλα.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης