Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#1

Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :

Ερώτηση

Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο $\mathbb R$ , είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η

να είναι μονότονη ;

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :

Ερώτηση

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο $\mathbb R$ , είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η να είναι μονότονη ;

Μπάμπης

Μπάμπη, καλημέρα.
Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέτοιο διάστημα. Κοίτα εδώ viewtopic.php?f=9&t=7409

#3

http://www.ams.org/journals/proc/1976-0 ... 6870-2.pdf

#4

Τα πιο πάνω παραδείγματα δείχνουν περισσότερα από το ζητούμενο. Ένα πιο «απλό» παράδειγμα είναι το εξής:

Για $x \in \mathbb{R}$ oρίζουμε $d(x,\mathbb{Z})$ την απόσταση του

από τον πιο κοντινό ακέραιο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής. Ορίζουμε τώρα

$\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(2^n x,\mathbb{Z})}{2^n}.}$ Από το Μ-test του Weierstrass η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και άρα η συνάρτηση

είναι συνεχής. (*)

Για την μη μονοτονία τώρα, παίρνουμε ένα διάστημα

. Θα περιέχει σίγουρα ένα υποδιάστημα της μορφής $\displaystyle{ \left(\frac{k}{2^m} - \frac{1}{2^{2m+1}},\frac{k}{2^m} + \frac{1}{2^{2m+1}} \right)}$ για κάποιο ακέραιο

και κάποιο

αρκετά μεγάλο. Έστω x = k/2^m

και $y = 1/2^{2m+1}$ . Για κάθε $n \leqslant m$ έχουμε $|d(2^n x,\mathbb{Z}) - d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z})| \leqslant 2^n y$ . Για κάθε $m+1 \leqslant n \leqslant 2m+1$ έχουμε $d(2^n x,\mathbb{Z}) = 0$ και $d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z}) = 2^n y$ . Τέλος, για κάθε $n \geqslant 2m+1$ έχουμε $d(2^n x,\mathbb{Z}) = d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z}) = 0$ . Άρα $f(x \pm y) - f(x) \geqslant (m+1)y - my = y > 0$ .

(*) Μπορούμε να δείξουμε την συνέχεια και χωρίς την χρήση του Weierstrass. Για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ έχουμε $\displaystyle{|d(x,\mathbb{Z}) - d(y,\mathbb{Z})| \leqslant d(|x-y|,\mathbb{Z}) \leqslant \min\{|x-y|,1\}.}$ Άρα για |x-y| < 1/2^m

έχουμε $\displaystyle{ |f(x) - f(y)| \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|d(2^n x,\mathbb{Z}) - d(2^n y,\mathbb{Z})|}{2^n} \leqslant \sum_{n=1}^m \frac{2^{n-m}}{2^n} + \sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{m+1}{2^m} }$ το οποίο τείνει στο 0 όταν το

τείνει στο άπειρο.

#5

Χαίρομαι που η διαίσθησή μου συμφωνεί με τις απαντήσεις σας, λυπάμαι όμως που δε μπόρεσα να φτιάξω μόνος μια τέτοια συνάρτηση !
Επαληθεύεται για μια ακόμα φορά ότι τα μαθηματικά, εφαρμοσμένα και μη, απαιτούν τεράστιο μόχθο και σκληρές σπουδές , κοντά σε σοφούς δασκάλους , πάνω από τα καλύτερα βιβλία και όλα αυτά κυρίως όταν είσαι νέος !!!
Σας ευχαριστώ για τις πολύτιμες πηγές και πληροφορίες !

Μπάμπης

Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση