Εκθετική εξίσωση

hsiodos · #1

Να λυθεί η εξίσωση

$(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496$

Γιώργος

Ευχαριστώ τον Δημήτρη και διόρθωσα για να φαίνεται καλύτερα το σύμβολο του "επι"

papel · #2

Εαν δεν εχω κανει λαθος στις πραξεις η λυση ειναι η χ=0.
Να πω οτι η ασκηση του Γιωργου οπως και καποιες αλλες προδιδεται
απο τον τυπο της και αρκετες φορες συμβαινει η λυση να κρυβεται
στους εκθετες εδω εχουμε χ,1-χ αρα ριζες 0,1 απο τις οποιες η 0
επαληθευει την εξισωση.

hsiodos · #3

Καλημέρα
Σωστές οι επισημάνσεις του συνάδελφου papel.
Ο εντοπισμός ρίζας (προφανούς) της εξίσωσης δεν φτάνει βέβαια για να πούμε ότι την λύσαμε.
Ας περιμένουμε πρώτα μήπως δοθεί πλήρης λύση από κάποιο μαθητή , όπως πολύ σωστά έχει επισημάνει σε άλλο μήνυμα ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Γιώργος

#4

Μια στιγμή. Το έλεγξα τόσες φορές και δεν βλέπω ούτε το 0 ούτε το 1 να είναι λύσεις.

#5

Δημήτρη το μηδέν είναι σίγουρα...

papel · #6

Εχεις για χ=0 , (18^3)*3=...

#7

Τώρα κατάλαβα. Ευχαριστώ. Το διάβαζα σαν $(3.2)^{1-x} + \cdots$

Η εξίσωση είναι δηλαδή η

$(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496$

(Η τελεία του πολλαπλασιασμου επιτυγχάνεται με \cdot)

#8

hsiodos έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση

$(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496$

Ας δούμε γιατί η εξίσωση δεν έχει άλλη λύση πλην της προφανούς χ = 0.

Γλυτώνουμε πράξεις αν παρατηρήσουμε ότι 17496 = 2^33^7

.
Η εξίσωση γράφεται
$(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 (2^{3x}+3^{3x}+1)=3^4$

Από ανίσωση Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου είναι

$(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 \ge 27 \cdot 2^{-x}\cdot 3^{-x} \cdot 1$ και
$2^{3x}+3^{3x}+1 \ge 3\sqrt[3]{2^{3x}3^{3x}\cdot 1}= 3\cdot 2^{x}3^{x}$

με ισότητες αν και μόνον αν x = 0.

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες κατά μέλη είναι

$(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 (2^{3x}+3^{3x}+1) \ge 3^4$

και λοιπά (με ισότητα μόνο αν χ=0).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#9

hsiodos έγραψε:Ας περιμένουμε πρώτα μήπως δοθεί πλήρης λύση από κάποιο μαθητή ,

Ω συγνώμη, δεν το πρόσεξα.

Είχα ξεκινήσει να γράφω λύση, αλλά με διέκοψαν πάρα πολλές φορές. Το αποτέλεσμα ήταν να γράφω σταδιακά και δεν πρόσεξα το μήνυμα του Γιώργου.

Αχχχ, πότε θα βρω ησυχία χωρίς να κτυπάει τηλέφωνο, πόρτα, παράθυρο, ...

Φιλικά,

Μιχάλης

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση