Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3355
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Απρ 07, 2024 1:36 pm

Ποια η σχέση των δύο εικονιζόμενων καμπύλων;

[Ελεύθερο θέμα ... προς ανάπτυξη! (Διορθώθηκε λαθάκι...)]

έλλειψη-τριτοβάθμιας.gif
έλλειψη-τριτοβάθμιας.gif (14.84 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Επικοινωνία:

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Δευ Απρ 15, 2024 11:46 pm

Μια απόπειρα!

ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ
Το σχήμα υπονοοεί πως έχει μορφή P(x)=k(x-1)(x-2)(x-3) με k>0
(k=1 αν και δεν έχει ιδιαίτερη σημασία η ακριβής τιμή για την προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε).
Η P(x) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις x_{\pm}=2\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

ΕΛΛΕΙΨΗ
Έστω a,b,c οι συνήθεις παράμετροι της έλλειψης.
Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει άκρα τα σημεία A^\prime(1,3),A(3,1) οπότε a=\sqrt{2}.
Μια εξίσωση για την έλλειψη μπορούμε να αποκτήσουμε θεωρώντας ότι αυτή προκύπτει με στροφή -45^o και μεταφορά κατά μήκος του διανύσματος \{2,2\} της έλλειψης \frac{X^2}{2}+\frac{Y^2}{b^2}=1
Θέτοντας \begin{cases}X=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)\\Y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y-4)\end{cases} και F(x,y)=\frac{X(x,y)^2}{2}+\frac{Y(x,y)^2}{b^2} η εξίσωση της έλλειψης είναι F(x,y)=1.
Τα δυο σημεία της έλλειψης στα οποία οι εφαπτομένες της είναι παράλληλες με τον x^\prime x έχουν τετμημένες αντίστοιχα ίσες με τις θέσεις τοπικών ακροτάτων της τριτοβάθμιας P οπότε θα έχουμε τα συστήματα \begin{cases}\partial_x F(x_{\pm},y)&=0\\F(x_{\pm},y)&=1\end{cases}. Επειδή 0<b<a βρίσκουμε b=\sqrt{\frac{2}{3}} οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση y^2 + x y - 6y + x^2 - 6x + 11 = 0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ...
Αφού το θέμα χαρακτηρίστηκε ως ελεύθερο, λαμβάνω το θάρρος να προτείνω μια συνέχειά του... (Η έλλειψη της τριτοβάθμιας ΙΙ).
Ας υποθέσουμε ότι k=1, η έλλειψη έχει κέντρο το (2,2), ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στην y=-x, τα σημεία επαφής των παράλληλων με τον άξονα x^\prime x εφαπτομένων της έλλειψης έχουν τετμημένες x=2\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, ενώ το μήκος του μεγάλου άξονα ας είναι πλέον μεταβλητό.
Να υπολογιστεί το supremum του μεγάλου άξονα υπό τη συνθήκη η έλλειψη να μην έχει κοινά σημεία με την τριτοβάθμια όπως ακριβώς ισχύει στο δοθέν αρχικό σχήμα.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3355
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 19, 2024 1:19 am

Ιάσων υποθέτω ζητάς μια 'μέγιστη' έλλειψη με γνωστό κέντρο, γνωστή διεύθυνση μεγάλου άξονα και γνωστές τετμημένες των σημείων επαφής των οριζόντιων εφαπτομένων: ναι είναι και αυτό ένα ενδιαφέρον ερώτημα, που μας πάει όμως αλλού, μία 'απλοϊκή' ερώτηση -- προς όλους -- είναι "τι γίνεται με τις κατακόρυφες εφαπτόμενες;"


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3355
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Απρ 21, 2024 7:30 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 1:19 am
Ιάσων υποθέτω ζητάς μια 'μέγιστη' έλλειψη με γνωστό κέντρο, γνωστή διεύθυνση μεγάλου άξονα και γνωστές τετμημένες των σημείων επαφής των οριζόντιων εφαπτομένων: ναι είναι και αυτό ένα ενδιαφέρον ερώτημα, που μας πάει όμως αλλού, μία 'απλοϊκή' ερώτηση -- προς όλους -- είναι "τι γίνεται με τις κατακόρυφες εφαπτόμενες;"
Φέρ(ν)ω τις κατακόρυφες εφαπτόμενες ... προς πιθανή επίλυση του γρίφου:


κατακόρυφες-εφαπτόμενες.png
κατακόρυφες-εφαπτόμενες.png (23.93 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3355
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 26, 2024 2:00 pm

Μια πρώτη απάντηση, σχόλια κλπ ευπρόσδεκτα:

3-6-τομές.png
3-6-τομές.png (25.85 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3355
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μάιος 02, 2024 1:17 pm

Κάθε σημείο (p,q) επί της έλλειψης αντιστοιχεί σε σημεία (p,f(p)), (q,f(q)) επί της τριτοβάθμιας y=f(x) με f(p)=f(q), και αντίστροφα. Από αυτό έπονται πολλά και διάφορα (που ίσως συζητήσω εκτενέστερα άλλη φορά), η εξίσωση της έλλειψης για παράδειγμα: από την (p-a)(p-b)(p-c)=(q-a)(q-b)(q-c) λαμβάνουμε p^2+pq+q^2-(a+b+c)p-(a+b+c)q+ab+bc+ca=0.

Έμπνευση μου για τα παραπάνω ήταν το πρόβλημα της μπίλιας όπως παρουσιάστηκε από τον Αλέξανδρο Συγγελάκη στο πρόσφατο συνέδριο του Καλαμαρί (4:28:45-4:37:15).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης