Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

#1

Να δώσετε παράδειγμα οξείας γωνίας η οποία

α) δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αλλά, συγχρόνως,

β) αν κάποιος σας την ζωγραφίσει (εννοείται χρησιμοποιώντας όργανα πέρα από τον κανόνα και διαβήτη) τότε εσείς θα μπορέσετε να την τριχοτομήσετε χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.

Σχόλιο: Ανάρτησα το ποστ στον φάκελο του Καθηγητή για να μπορώ να χρησιμοποιήσω θεωρήματα (π.χ. Wantzel) τα οποία δεν έχουν δει οι μαθητές. Από εκεί και πέρα, η απάντηση/λύση στο παραπάνω ερώτημα είναι αφοπλιστικά απλή. Έχω κατά νου μία πολύ ωραία και απλή γωνία η οποία έχει τις ζητούμενες ιδιότητες αλλά δεν αμφιβάλλω ότι υπάρχουν πολλά άλλα απλά παραδείγματα.

KARKAR · #2

: Τριχοτομείται.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Θεωρώ την τυχούσα γωνία $\hat{C}$ και την $\hat{B}=2\hat{C}$ . Τότε η γωνία $\hat{A}$ τριχοτομείται .

Για παράδειγμα για $\hat{C}=37^0$ , ( οπότε : $\hat{B}=74^0$ ) , τριχοτομούμε την $\hat{A}=69^0$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 21, 2022 7:20 am
Τριχοτομείται.pngΘεωρώ την τυχούσα γωνία $\hat{C}$ και την $\hat{B}=2\hat{C}$ . Τότε η γωνία $\hat{A}$ τριχοτομείται .

Για παράδειγμα για $\hat{C}=37^0$ , ( οπότε : $\hat{B}=74^0$ ) , τριχοτομούμε την $\hat{A}=69^0$ .

Θανάση, σωστά, αλλά νομίζω ότι δεν απαντάς στο ερώτημα. Στο σχήμα σου αυτή που σου δίνουν είναι η 37^o

αλλά τριχοτομείς την 69^o

. H ερώτηση ζητά να τριχοτομήσεις αυτήν που σου δίνουν. Μάλλον διορθώνεται, αλλά δεν το βλέπω (ακόμα δεν ήπια καφέ).

#4

Έστω $\vartheta = \pi/13$ .

Λήμμα 1: Η γωνία $\vartheta$ κατασκευάζεται αν και μόνο αν κατασκευάζεται και η γωνία $3\vartheta$ .

Απόδειξη: Από τη $\vartheta$ εύκολα κατασκευάζουμε την $3\vartheta$ . Από την $3\vartheta$ κατασκευάζουμε την $9\vartheta$ και ακολούθως την $\vartheta = \pi - 3\vartheta - 9\vartheta$ .

Λήμμα 2: Η γωνία $\vartheta$ δεν κατασκευάζεται.

Απόδειξη: Σε αντίθετη περίπτωση θα κατασκευαζόταν και η $\vartheta/2 = 2\pi / 13$ οπότε θα κατασκευαζόταν και το κανονικό 13-γωνο το οποίο γνωρίζουμε όμως ότι δεν κατασκευάζεται.

Από τα πιο πάνω η $3\vartheta$ δεν είναι κατασκευάσιμη αλλά αν μας δοθεί τότε μπορούμε να την τριχοτομήσουμε.

#5

Ακριβώς αυτό είχα στον νου αλλά με την γωνία $\theta = \dfrac {3\pi}{7}$ . Aν κατασκευαζόταν με κανόνα και διαβήτη, τότε θα κατασκευαζόναν και η $2\pi - 4\theta = \dfrac {2\pi }{7}$ , και άρα θα κατασκευαζόταν το κανονικό επτάγωνο (που δεν γίνεται από Gauss ή Wantzel).

Αν τώρα κάποιος σχεδιάσει την $\dfrac {3\pi}{7}$ τότε με κανόνα και διαβήτη κατασκευάζουμε την παραπληρωματική της $\dfrac {4\pi}{7}$ και άρα την διαφορά τους $\dfrac {4\pi}{7}-\dfrac {3\pi}{7}= \dfrac {\pi}{7}$ . Όμως η τελευταία είναι η τριχοτόμος της αρχικής, $\dfrac {3\pi}{7}$ .

Όμοιες σκέψεις μπορεί να κάνει κανείς με στόχο της γωνίες $\dfrac {\pi}{9},\, \dfrac {\pi}{11}$ και $\dfrac {\pi}{13}$ αλλά όχι για την καλή γωνία $\dfrac {\pi}{17}$ .

KARKAR · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 21, 2022 8:56 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 21, 2022 7:20 am
Τριχοτομείται.pngΘεωρώ την τυχούσα γωνία $\hat{C}$ και την $\hat{B}=2\hat{C}$ . Τότε η γωνία $\hat{A}$ τριχοτομείται .

Για παράδειγμα για $\hat{C}=37^0$ , ( οπότε : $\hat{B}=74^0$ ) , τριχοτομούμε την $\hat{A}=69^0$ .
Θανάση, σωστά, αλλά νομίζω ότι δεν απαντάς στο ερώτημα. Στο σχήμα σου αυτή που σου δίνουν είναι η αλλά τριχοτομείς την . H ερώτηση ζητά να τριχοτομήσεις αυτήν που σου δίνουν. Μάλλον διορθώνεται, αλλά δεν το βλέπω (ακόμα δεν ήπια καφέ).

Μιχάλη , η απάντησή μου είναι λάθος , διότι η γωνία των 69^0

, είναι κατασκευάσιμη ( πολλαπλάσιο των 3^0

) .

Ωστόσο , με την αλλαγή : $\hat{C}=37\frac{1}{3}^0$ , ( οπότε : $\hat{B}=74\frac{2}{3}^0$ ) , τριχοτομούμε την $\hat{A}=68^0$ , η οποία

δεν είναι κατασκευάσιμη . Αλλά αφού θέλω να την "ζωγραφίσω" , το πετυχαίνω με το τέχνασμα που χρησιμοποίησα

KARKAR · #7

Αφού μιλάμε για τριχοτόμηση , δεν θα μπορούσε να λείψει ο Απόστολος Μπαρτζόπουλος .

: TRIX BARG.png (15.03 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Προτείνει λοιπόν τον "προκατασκευασμένο" ρόμβο OACB

και πετυχαίνει (πώς ; ) την τριχοτόμηση των 26^0

.

#8

Γειά σας. Χάριν ποικιλίας:
Μια γωνία είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν το ημίτονο της είναι κατασκευάσιμος αριθμός.
Ως γνωστόν ο $\root{3}\of{2}$ δεν είναι κατασκευάσιμος και επομένως το αυτό ισχύει για τον $a=\allowbreak \frac{3}{2}\root{3}\of{2}-1$ ο οποίος είναι μεταξυ

και

άρα είναι ημίτονο μια μη κατασκευάσιμης γωνίας $\omega$ .
Αν όμως η $\omega$ δοθεί τότε ο

κατασκευάζεται από αυτήν. Επομένως κατασκευάζεται ο $b=\frac{\root{3}\of{2}}{2}$ o οποίος αντιστοιχεί στο ημίτονο της $\frac{\omega }{3}$ λόγω της σχέσης $\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x$ (η $f\left( t\right) =3t-4t^{3}$ στο διάστημα [0,1]

είναι γνησίως αύξουσα και $f\left( b\right) =a$ ).
Άρα η $\frac{\omega }{3}$ , αν και μη κατασκευάσιμη, κατασκευάζεται από την $\omega$ .

Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία

Μέλη σε σύνδεση