Ψευδής υπόθεση!

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6358
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ψευδής υπόθεση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Μάιος 26, 2022 9:23 pm

Από τα μαθητικά μου χρόνια θυμάμαι την παρακάτω άσκηση:

\displaystyle{\color{red}\bigstar} Αν \displaystyle{a,b,c>0}, διαφορετικοί ανά δύο, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}\implies a^ab^bc^c=1.}

\displaystyle{\color{red}\rule{300pt}{5pt}}

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι \displaystyle{a,b,c!} :lol:


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1717
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ψευδής υπόθεση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 26, 2022 10:01 pm

matha έγραψε:
Πέμ Μάιος 26, 2022 9:23 pm
Από τα μαθητικά μου χρόνια θυμάμαι την παρακάτω άσκηση:

\displaystyle{\color{red}\bigstar} Αν \displaystyle{a,b,c>0}, διαφορετικοί ανά δύο, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}\implies a^ab^bc^c=1.}

\displaystyle{\color{red}\rule{300pt}{5pt}}

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι \displaystyle{a,b,c!} :lol:
Καλή!

Έστω

\displaystyle{\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}=k}, οπότε

\log a^ab^bc^c=ak(b-c)+ bk(c-a)+ck(a-b)=0,

άρα a^ab^bc^c=1.

Αν τώρα υπήρχαν τέτοιοι a,b,c, έχουμε 2 περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: k>0. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας πως a>b. Τότε,

k(b-c)=\log a>\log b=k(c-a),

άρα a+b>2c, οπότε 2a>a+b>2c, συνεπώς a>c. Οπότε, όμοια b-c>a-b άρα 2b>a+c, που δίνει 2b>a+c>2c, και τελικά b>c, οπότε και c-a>a-b, άτοπο αφού

0>c-a>a-b>0.

Περίπτωση 2: k<0. Κάνουμε ακριβώς τα ίδια επιχειρήματα, υποθέτοντας ότι a>b και καταλήγοντας όμοια σε άτοπο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6358
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ψευδής υπόθεση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 31, 2022 9:07 pm

Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά. Όπως έδειξε ο Ορέστης, είναι \displaystyle{a^ab^bc^c=1,} αλλά και \displaystyle{abc=1.}

Από αυτές προκύπτει \displaystyle{a^{a-1}b^{b-1}c^{c-1}=1.}

Όμως εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι για όλους τους \displaystyle{x>0} ισχύει \displaystyle{x^{x-1}\geq 1} με την ισότητα μόνο όταν \displaystyle{x=1.}

Το ζητούμενο έπεται.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης