Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

[ksofsa]

Καλησπέρα!

Στην προσπάθεια για κάτι άλλο, κατέληξα στο παρακάτω. Το δίνω προς απόδειξη (ή απόρριψη, αν έχει γίνει λάθος στην απόδειξη που έκανα).

Να αποδειχθεί ή να απορριφτεί καθένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

Έστω υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.
1)Έστω τριώνυμο , με . Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του για τις διάφορες τιμές των σχηματίζουν υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.
2)Έστω πολυώνυμο , με .Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του για τις διάφορες τιμές των σχηματίζουν υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.
3)Έστω πολυώνυμο , με .Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του για τις διάφορες τιμές των σχηματίζουν υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδειχθεί ή να απορριφτεί καθένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

Έστω υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.
1)Έστω τριώνυμο , με . Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του για τις διάφορες τιμές των σχηματίζουν υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης.

Δεν ισχύει.

Αρκεί να το δούμε για το 1). Κατά μείζονα λόγο δεν ισχύει για τα μεγαλύτερο βαμθού πολυώνυμα (το βλέπουμε π.χ. παίρνοντας τους συντελεστές των και κάτω ίσους με το μηδέν).

Για το σύνολο παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του είναι διακριτά (απέχουν τουλάχιστον , οπότε δεν έχουν σ.σ.). Από την άλλη το πολυώνυμο



έχει ρίζα τον αριθμό

[ksofsa]

Κύριε Λάμπρου, σας ευχαριστώ για την απάντηση!

Αναρωτιέμαι αν ισχύουν οι ισχυρισμοί για κάποια σύνολα .

Αν , για παράδειγμα, , αληθεύουν οι ισχυρισμοί;

Το θέτω ως συμπληρωματικό ερώτημα στο αρχικό θέμα.

[Mihalis_Lambrou]

Αναρωτιέμαι αν ισχύουν οι ισχυρισμοί για κάποια σύνολα .

Αν , για παράδειγμα, , αληθεύουν οι ισχυρισμοί;

Το θέτω ως συμπληρωματικό ερώτημα στο αρχικό θέμα.

Περιέργως, και στην περίπτωση που το σύνολο αναφοράς είναι το , πάλι οι ρίζες μπορεί να έχουν σημείο συσσώρευσης. Για παράδειγμα το πολυώνυμο

έχει ρίζα

[ksofsa]

Με το συλλογισμό του κυρίου Λάμπρου αποδεικνύεται ότι
αν οποιοδήποτε άπειρο υποσύνολο του με κανένα σημείο συσσώρευσης, τότε το σύνολο των ριζών του τριωνύμου έχει το σημείο συσσώρευσης.

Πράγματι, θα υπάρχει ακολουθία όρων του , με ή .

Έστω .

Θεωρώ την ακολουθία τριωνύμων , με ρίζα

.

Θεωρήθηκε ότι , αφού τελικά οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί.

Η περίπτωση για αποδεικνύεται αναλόγως.

Εδώ αναφύονται διάφορα ερωτήματα, όπως αν ισχύει κάτι ανάλογο για μεγαλύτερου βαθμού πολυώνυμα, ερωτήματα για την ύπαρξη ή όχι άλλων σημείων συσσώρευσης, αν τα σημεία συσσώρευσης είναι άπειρα ή πεπερασμένα. Ενδεχομένως , υπό το πρίσμα κάποιας θεωρίας τα ερωτήματα αυτά να γίνονται τετριμμένα.