Το ανατολικότερο σημείο

KARKAR · #1

: Το ανατολικότερο σημείο.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Το τμήμα

, έχει τα άκρα του πάνω στην έλλειψη του σχήματος . Η μεσοκάθετός του , τέμνει

τον ημιάξονα

στο σημείο

. Βρείτε την ανατολικότερη θέση του σημείου

( αλλιώς το $OS_{max}$ ) .

abgd · #2

: East.png (85.38 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

Για κάθε σημείο $\displaystyle{M(x,y)}$ της έλλειψης $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ισχύουν
$\displaystyle{y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2 \ \ \bf{(1)}}$ ,

$\displaystyle{ME=a-\epsilon\cdot x \ \ \bf{(2)}}$ ,

όπου
$\displaystyle{E(\gamma,0), \ \ \gamma=\sqrt{a^2-b^2}}$ η μία εστία της έλλειψης
και
$\displaystyle{\epsilon = \frac{\gamma}{a}}$ η εκκεντρότητά της.

Στο σχήμα μας έχουμε: $\displaystyle{AE=5-\frac{4}{5}x_1}$ και $\displaystyle{BE=5-\frac{4}{5}x_2}$

$\displaystyle{AE+BE\geq AB\Leftrightarrow 10-\frac{4}{5}(x_1+x_2)\geq4\Leftrightarrow x_1+x_2\leq7,5 \ \ \bf{(3)}}$

Ακόμη,

$\displaystyle{\vec{SK}\perp \vec{AB}\Rightarrow \frac{x_2^2-x_1^2}{2}-s(x_2-x_1)+\frac{y_2^2-y_1^2}{2}=0}$

Με τη βοήθεια των σχέσεων $\displaystyle{\bf{(1), (3) }}$ και λύνοντας ως προς $\displaystyle{s}$ θα πάρουμε:

$\displaystyle{\bf{s}=\frac{8}{25}(x_1+x_2)\bf{\leq}\frac{8}{25}\cdot7,5=\bf{2,4}}$

με την ισότητα να ισχύει όταν τα σημεία $\displaystyle{A,E,B}$ είναι συνευθειακά.

Το ανατολικότερο δηλαδή σημείο $\displaystyle{S}$ είναι το $\displaystyle{S(2.4,0)}$ .

Το ανατολικότερο σημείο

Το ανατολικότερο σημείο

Re: Το ανατολικότερο σημείο

Μέλη σε σύνδεση