Αν είναι άρρητος, τότε...

ksofsa · #1

Καλημέρα!

Κατέληξα στο παρακάτω αποτέλεσμα , το οποίο δίνω ως άσκηση:

Έστω συνάρτηση $f(a,b)=\int_{0}^{1}\dfrac{ax^2+bx-1}{x^3+x^2+x+1}dx$ .

Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\dfrac{\pi }{ln2}$ είναι άρρητος, αν και μόνο αν υπάρχει μοναδικό ζεύγος ακεραίων (a,b)

, ώστε

, το οποίο και να προσδιορίσετε.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Γράφουμε

$\displaystyle{\dfrac{a\,x^2+b\,x-1}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{r}{x+1}+\dfrac{s\,x+t}{x^2+1}}$

και με εύκολες πράξεις βρίσκει κανείς $r=\dfrac{a-b-1}{2}\,,s=\dfrac{b+a+1}{2}\,,t=\dfrac{b-a-1}{2}$

Άρα,

$\begin{aligned}f(a,b)&=\left[\dfrac{a-b-1}{2}\,\ln\,(x+1)+\dfrac{b+a+1}{4}\,\ln\,(x^2+1)+\dfrac{b-a-1}{2}\,\arctan\,x\right]_{0}^{1}\\&=\dfrac{(3\,a-b-1)\,\ln\,2}{4}+\dfrac{(b-a-1)\,\pi}{8}\end{aligned}$

Εύκολη παρατήρηση ότι f(1,2)=0

. Αν υπήρχε και άλλο ζεύγος $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ ώστε f(a,b)=0

τότε θα ίσχυε

$(b-a-1)\,\pi=2\,(b+1-3\,a)\,\ln\,2$ . Τότε, τα $b-a-1\,,b+1-3\,a$ μηδενίζονται ταυτόχρονα ή είναι μη-μηδενικά ταυτόχρονα.

Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε (a,b)=(1,2)

ενώ στη 2η περίπτωση παίρνουμε $\dfrac{\pi}{\ln\,2}=\dfrac{2\,(b+1-3\,a)}{b-a-1}\in\mathbb{Q}$

ksofsa · #3

Πολύ ωραία! Σας ευχαριστώ για την απάντηση!

Με το ίδιο σκεπτικό αποδεικνύεται ότι, αν ο $\dfrac{\pi }{ln2}$ άρρητος, τότε
τα μόνα τριώνυμα f(x)

με ακέραιους συντελεστές που ικανοποιούν την

$\int_{0}^{1}\dfrac{f(x)}{x^3+x^2+x+1}dx=0$

είναι τα τριώνυμα της μορφής $f(x)=kx^2+2kx-k, k\epsilon Z$ .

Καλό βράδυ!

Αν είναι άρρητος, τότε...

Αν είναι άρρητος, τότε...

Re: Αν είναι άρρητος, τότε...

Re: Αν είναι άρρητος, τότε...

Μέλη σε σύνδεση