Πιο κοντά

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12637
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πιο κοντά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 09, 2021 9:15 pm

Στην ανισοτική σχέση : \sin x< x< \tan x , x \in(0 , \dfrac{\pi}{2}) , αναρωτηθήκαμε αν το x είναι πιο κοντά στο \sin x ή στην \tan x .

Δείξτε τώρα ότι : \dfrac{1}{x+1}<ln\dfrac{x+1}{x}< \dfrac{1}{x} ,  x>0 και αναρωτηθείτε αν το ln\dfrac{x+1}{x} είναι πιο κοντά στο \dfrac{1}{x+1} ή στο \dfrac{1}{x} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6320
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πιο κοντά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Ιουν 09, 2021 10:53 pm

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, το \displaystyle{x} είναι πιο κοντά στο \displaystyle{\sin x} από ό,τι στο \displaystyle{\tan x}, όπως μας εξασφαλίζει άμεσα ο Huygens

\displaystyle{2\sin x+\tan x>3x} στο \displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12637
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πιο κοντά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 10, 2021 11:31 am

Η ανισότητα που παραθέτει ο Θάνος είναι γνωστή σε όλους ( Άσκηση 8 - Β Ομάδας παράγραφος  2.6 , σελίδα 140 )

Η προέλευσή της ήταν σε μένα άγνωστη ( μέχρι σήμερα - Θάνο thanks ! ) , βλέπε πάντως εδώ .

Θέλουμε , λοιπόν , να δείξουμε ότι : \tan x-x>x-\sin x . Αυτό είναι ισοδύναμο με το : \tan x+\sin x >2x .

Θεωρούμε την συνάρτηση : f(x)=\tan x+\sin x -2x , x\in (0 , \dfrac{\pi}{2}) , της οποίας η παράγωγος είναι θετική κ.λ.π.

Η ανισότητα Huygens , λέει κάτι ακόμη ισχυρότερο : \tan x-x>2(x-\sin x) \: ,  \: x\in (0 , \dfrac{\pi}{2}) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης