Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός

[CyMath]

Καλησπέρα σας,

Αρχικά απολογούμαι εάν δημοσίευσα σε λάθος μέρος.
Προσπαθώ να βοηθήσω έναν φίλο μου προκειμένου να λύσει κάποια προβλήματα στα μαθηματικά (όντας ελαφρώς καλύτερος σε αυτά) και δυσκολευόμαστε αρκετά σε ένα πρόβλημα κίνησης. Αν μπορείτε να μας δώσετε κάποιες κατευθυντήριες γραμμές ως προς την λύση του προβλήματος θα χαιρόμουν πάρα πολύ. Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Πρόβλημα
Κάθε πρωί, ένας εργάτης παίρνει το λεωφορείο στις 7:00 από τη στάση Α και κατεβαίνει στη στάση Β, από την οποία τον παραλαμβάνει αυτοκίνητο το οποίο ξεκινά από το εργοστάσιο στο οποίο εργάζεται. Ο οδηγός του αυτοκινήτου φροντίζει να φτάνει στη στάση Β ταυτόχρονα με το λεωφορείο που έρχεται ο εργάτης. Ένα πρωί, ο εργάτης πήρε το λεωφορείο στις 6:15 από τη στάση Α, κατέβηκε στη στάση Β και ξεκίνησε να περπατά προς το εργοστάσιο. Σε κάποια στιγμή εμφανίστηκε ο οδηγός του αυτοκινήτου, παρέλαβε τον εργάτη και επέστρεψε στο εργοστάσιο 26 λεπτά νωρίτερα από ότι συνήθως. Να υπολογίσετε το χρόνο (σε λεπτά) που περπατούσε ο εργάτης από τη στάση Β προς το εργοστάσιο.


Να διευκρινήσω, ότι ο φίλος μου πρόκειται να δώσει εξετάσεις για Αστυνομία στην Κύπρο (από όπου βρήκαμε και την άσκηση) και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ειδικευμένους τύπους. Απλά δυσκολευόμαι στο να δομήσω την άσκηση, ως προς τη λύση. Με μπερδεύουν οι στάσεις όπως επίσης και οι διαδρομές, εφόσον δεν δίνονται ούτε αποστάσεις (για να χρησιμοποιήσω τον τύπο s=u.t) ούτε ταχύτητες ούτε χρόνοι, πέραν των 26 λεπτών νωρίτερα.

Και πάλι ευχαριστώ.

[Demetres]

Ένας σύντομος τρόπος είναι ο εξής:

Θα γράψω Γ για το σημείο όπου συναντήθηκε ο εργάτης με το αυτοκίνητο και Δ για το σημείο όπου βρισκόταν το αυτοκίνητο όταν ο εργάτης κατέβηκε από το λεωφορείο. Έστω επίσης Ε το εργοστάσιο.

Άρα έχουμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε στη σειρά. Κάθε μέρα ο εργάτης πάει από το Α στο Β με το λεωφορείο και μετά κάνει τις αποστάσεις ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ με το αυτοκίνητο.

Σήμερα ο εργάτης

Έκανε τη διαδρομή ΑΒ με λεωφορείο (κέρδισε 45 λεπτά αφού ξεκίνησε πιο γρήγορα)
Έκανε τη διαδρομή ΒΓ με τα πόδια (έχασε κάποια λεπτά)
Έκανε τις ΓΔ,ΔΕ με το αυτοκίνητο όπως και πριν.

Συνολικά έχασε λεπτά κάνοντας τη διαδρομή με τα πόδια αντί με το αυτοκίνητο.

Γράφω τώρα για τον χρόνο που θέλει να κάνει την ΒΓ με τα πόδια. (Αυτό είναι που θέλουμε να βρούμε)
Γράφω τώρα για τον χρόνο που θέλει να κάνει την ΒΓ με το αυτοκίνητο.
Γράφω τώρα για τον χρόνο που θέλει να κάνει την ΓΔ με το αυτοκίνητο.

Έχουμε ήδη δει ότι . Παρατηρούμε επίσης ότι (αφού το αυτοκίνητο όταν ήταν στο Δ ήθελε 45 λεπτά να φτάσει στο Β) και (αφού ο εργάτης και το αυτοκίνητο έκαναν τις αντίστοιχες διαδρομές στον ίδιο χρόνο).

Τώρα είναι εύκολο να λύσουμε ως προς το . Έχουμε άρα .

Μπορεί να φαίνεται λίγο μακροσκελής η λύση αλλά είναι επειδή εξηγούσα τι συμβαίνει ενδιάμεσα. Ουσιαστικά οι πράξεις που χρειάστηκε να γίνουν δεν ήταν πολλές.

[CyMath]

Κύριε Δημήτρη καλησπέρα και ευχαριστώ για τη βοήθεια.
Μια ερώτηση έχω μόνο.

Πιο πάνω αναφέρετε ότι ο χρόνος απόστασης που έκανε με τα πόδια, το δηλαδή, είναι ίσο με τον χρόνο που έκανε τη διαδρομή ΓΔ με το αυτοκίνητο, το .

Αναφέρομαι στο ότι το είναι το διάστημα του ΒΓ και το είναι το διάστημα του ΓΔ.
Πως γίνεται δηλαδή, η απόσταση που διένυσε ο εργάτης με τα πόδια, να είναι η ίδια με την απόσταση που διένυσε ο οδηγός από το Δ στο Γ;



Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω κάπου λάθος.

Και πάλι ευχαριστώ για τον χρόνο σας και την προσοχή σας.
Με εκτίμηση.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα
Κάθε πρωί, ένας εργάτης παίρνει το λεωφορείο στις 7:00 από τη στάση Α και κατεβαίνει στη στάση Β, από την οποία τον παραλαμβάνει αυτοκίνητο το οποίο ξεκινά από το εργοστάσιο στο οποίο εργάζεται. Ο οδηγός του αυτοκινήτου φροντίζει να φτάνει στη στάση Β ταυτόχρονα με το λεωφορείο που έρχεται ο εργάτης. Ένα πρωί, ο εργάτης πήρε το λεωφορείο στις 6:15 από τη στάση Α, κατέβηκε στη στάση Β και ξεκίνησε να περπατά προς το εργοστάσιο. Σε κάποια στιγμή εμφανίστηκε ο οδηγός του αυτοκινήτου, παρέλαβε τον εργάτη και επέστρεψε στο εργοστάσιο 26 λεπτά νωρίτερα από ότι συνήθως. Να υπολογίσετε το χρόνο (σε λεπτά) που περπατούσε ο εργάτης από τη στάση Β προς το εργοστάσιο.

Ο οδηγός γλύτωσε λεπτά οδήγησης, που σημαίνει ότι τα από αυτά ήταν στο πήγαινε και τα άλλα στο έλα. Δεδομένου ότι γλύτωσε την απόσταση από το σημείο συνάντησης μέχρι την στάση Β, σημαίνει ότι αυτή την απόσταση την κάνει σε λεπτά. Το φυλάμε αυτό.

Πάμε τώρα να δούμε πώς τα βλέπει ο εργάτης. Αν έμενε στην στάση Β να περιμένει μέχρι το συνηθισμένο ραντεβού, θα περίμενε λεπτά. Αποφάσισε να κερδίσει χρόνο οπότε άρχισε να περπατά προς το εργοστάσιο. Πόσο χρόνο γλύτωσε; Είναι φανερό ότι γλύτωσε τον χρόνο που κάνει το αυτοκίνητο από το σημείο συνάντησης μέχρι την στάση Β. Αλλά αυτός ο χρόνος είναι (το είδαμε παραπάνω) λεπτά. Συνεπώς περπάτησε για λεπτά.

[CyMath]

Κύριε Μιχάλη Λάμπρου καλή σας ημέρα.

Ευχαριστώ πολύ για την ανταπόκριση στο πρόβλημά μου. Σαφώς η απάντηση που δώσατε είναι πιο "εύκολη". Σας ευχαριστώ πολύ για τις εξηγήσεις.


Κύριε Δημήτρη καλημέρα και σε εσάς,

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω το ότι το και το είναι το ίδιο στη δική σας παρουσίαση της λύσης. Η απόσταση που κάνει το αυτοκίνητο από το Δ (εκεί που βρισκόταν όταν κατέβηκε ο εργάτης από το λεωφορείο) γιατί είναι ίδια με την απόσταση που κάνει ο εργάτης με τα πόδια μέχρι το σημείο συνάντησης Γ;

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και τους δύο.

[Demetres]

Καλημέρα, για κάποιο λόγω μου διέφυγε το γεγονός ότι μπήκαν απαντήσεις σε αυτό το θέμα.

Η παρανόηση βρίσκεται στο γεγονός ότι νομίζεις ότι οι αποστάσεις ήταν οι ίδιες. (Όπως φαίνεται και στο διάγραμμα που έφτιαξες.) Όμως όχι δεν ήταν οι ίδιες. Η απόσταση ΓΔ είναι σαφώς μικρότερη της ΒΓ. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι ότι ο χρόνος είναι ο ίδιος. Ξεκινούν ο ένας από το Β και ο άλλος από το Δ την ίδια ώρα και συναντιούνται στο Γ. Άρα έκαναν την ίδια ώρα να φτάσουν στο Γ.

[CyMath]

Καλημέρα και πάλι κύριε Δημήτρη,

Ναι σαφώς και οι αποστάσεις δεν είναι ίδιες, απλά στο σχεδιάγραμμα έτυχε και βγήκαν ίδιες. Το θέμα που δεν καταλάβαινα εγώ, είναι πως γίνεται ο χρόνος του οδηγού να πάει από το Δ στο Γ να είναι ίδιος με τον χρόνο που θέλει ο εργάτης να πάει από το Β στο Γ.

Μου διέφυγε τελείως η λεπτομέρεια ότι φτάνουν την ίδια χρονική στιγμή στο Γ και γι' αυτό ισούνται.

Όσο για τις απαντήσεις που λέτε, ψάξαμε και δεν τις βρήκαμε πουθενά.

[Mihalis_Lambrou]

Όσο για τις απαντήσεις που λέτε, ψάξαμε και δεν τις βρήκαμε πουθενά.

Αυτό που εννοεί ο Δημήτρης είναι ότι δεν είχε προσέξει αμέσως ότι αναρτήθηκαν ποστ μετά το δικό του. Γι' αυτό δεν είχε απαντήσει στην απορία σου, αυτοστιγμί.

Να αλλάξω θέμα. Έχω και δεύτερη λύση, με γράφημα "χρόνου έναντι απόστασης από την στάση" αλλά επειδή αυτό τον καιρό πιέζομαι για τις άλλες μου δουλειές, θα την αναρτήσω εν ευθέτω χρόνω. Θα χαρώ να την αναρτήσει κάποιος άλλος. Πάντως είναι εποπτικότερη από τις δύο παραπάνω (που βέβαια επικαλύπτονται) και ίσως είναι πιο κατανοητή σε μαθητή.